Колебания маятника под действием сил сухого трения

Пусть в произвольный момент времени штангу, на которой закреплены только элемент сухого трения и груз, отклонили от положения равновесия на угол φ, как показано на рис. 4.

Рис. 4. Схема маятника, колеблющегося под действием силы тяжести и силы сухого трения

Под действием силы тяжести маятник стремится вернуться в первоначальное положение. Сила трения F_тр, модуль которой не зависит от угла φ отклонения маятника, направлена против движения кисточки, закреплённой на штанге в т. A. Основной закон динамики вращательного движения в этом случае записывается так:

. (19)

Из (19) после элементарных преобразований получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

. (20)

Поскольку |F_тр| = const, то циклическая частота ω затухающих колебаний величины φ совпадает с циклической частотой  свободных колебаний той же системы в отсутствие трения [3, с. 118-119].

Чтобы оценить значение силы трения, воспользуемся законом сохранения энергии, в соответствии с которым работа силы трения A_тр за половину периода T/2 равна убыли механической энергии маятника за тот же промежуток времени. Пусть маятник отклонили от положения равновесия на угол φ₁, как показано на рис. 5.

а	б
Рис. 5. Изменение положения маятника через половину периода колебаний	Рис. 6. Временнáя зависимость амплитуды колебаний, затухающих под действием сил сухого трения

В начальный момент времени маятник отпустили без сообщения дополнительной скорости (E_k1 = 0). Если в качестве нулевого уровня потенциальной энергии выбрать уровень, проходящий через центр масс маятника в положении равновесия, то в начальный момент времени энергия маятника равна

E₁ = E_p1 = mg|ОС|·(1 – cos φ₁) = mgd(1 – cos φ₁) ≈ mgd φ₁² / 2. (21)

При получении (21) учтено, что угол φ₁ малый, и поэтому sin φ₁ ≈ φ₁.

Если момент сил трения не слишком большой, то через время T/2 маятник отклонится с другой стороны от положения равновесия на максимальный угол φ₂ < φ₁ (E_k2 = 0). При этом элемент сухого трения пройдёт расстояние, равное длине дуги |ОА|·(φ₁+φ₂) = h (φ₁+φ₂), и сила трения совершит работу

A_тр = F_тр h (φ₁+φ₂), (22)

тогда механическая энергия маятника уменьшится до значения

E₂ = E_p2 = mgd(1 – cos φ₂) ≈ mgd φ₂² / 2. (23)

Таким образом, из закона сохранения энергии A_тр = E₁ – E₂ следует

F_тр h (φ₁+φ₂) ≈ mgd ( φ₁² – φ₂²) / 2, (24)

откуда путём элементарных математических преобразований получим

F_тр ≈ mgd (φ₁ – φ₂) / (2h) = mgd Δφ_1/2 / (2h), (25)

где Δφ_1/2 – угол, на который уменьшается амплитуда колебаний маятника за половину периода T/2. За полный период амплитуда колебаний уменьшится на Δφ = 2Δφ_1/2, тогда выражение (25) можно записать в виде:

. (26)

Поскольку подобные рассуждения можно произвести и для первого, и для второго, и для последующих периодов колебания маятника, то последовательность максимальных отклонений образует убывающую арифметическую прогрессию (линейная зависимость от времени), и колебания полностью прекращаются через конечное число циклов. В противоположность этому, если затухание колебаний происходит из-за вязкого трения, то максимальные отклонения убывают в геометрической прогрессии (экспоненциально) и формально движение продолжается бесконечно долго. График колебаний, затухающих под действием сил сухого трения, представлен на рис. 6, где пунктирная линия изображает зависимость амплитуды от времени.