Примеры решения задач

Задача 1

Два шарика с одинаковыми радиусами, массы которых и , соединены легкой пружинкой длины и жесткостью Система находится на абсолютно гладком столе. В некоторый момент времени пружинку растянули на и отпустили. Найти:

а) период малых колебаний;

б) закон изменения во времени расстояния между шариками.

Решение.

В начальный момент времени пружинка растянута на и шарики относительно стола покоятся. Поместим начало координат в центр инерции системы, а ось OX направим вдоль пружины. После того как шарики будут отпущены, они начнут колебаться. Центр инерции остается в покое, так как полный импульс шариков в условиях задачи сохраняется.

Введем вектор, описывающий относительное движение шариков:

. (6.2)

Тогда в равновесном положении .

Предположив, что пружина растянута в пределах упругих деформаций, можно записать, что действующая на первый шарик упругая сила

где

. (6.3)

Тогда уравнение движения шариков запишутся в виде

(6.4)

(6.5)

Поскольку масса пружины пренебрежимо мала, то в соответствии с выбором начала координат

Используя эту формулу, из выражения (6.2) получаем

(6.6)

Подставив выражения для и в уравнение (6.4) или (6.5), имеем где  – приведенная масса системы: . Учитывая, что , приходим к уравнению гармонических колебаний

или в проекции на ось OX

, (6.7)

где .

Колебания шариков имеют период

.

Общее решение уравнения (6.7) можно представить в виде

,

где и – константы, определяемые из начальных условий

Получаем уравнения

Не ограничивая общности, можно взять . Тогда и,

следовательно,

Закон изменения относительного расстояния находится из соотношения (6.3):

Ответ:

Задача 2

В плоскости движется точка массой под действием притягивающей к началу координат силы, пропорциональной расстоянию точки от начала координат. Коэффициент пропорциональности . В начальный момент положение точки определяется вектором и ее начальная скорость . Найти уравнение траектории точки.

Решение.

Уравнение движения точки:

, ,

Характеристическое уравнение последних соотношений имеет вид , его корни мнимые, поэтому общее решение дифференциальных уравнений движения таково:

Вместо постоянных интегрирования введем новые постоянные так что , , , . Тогда общее решение дифференциальных уравнений движения таково:

,

Найдем производные по времени этих равенств:

, .

Определим произвольные постоянные, подставляя начальные условия в последние четыре уравнения. Получаем систему уравнений:

, , , .

Отсюда

, , , .

Из найденных решений дифференциальных уравнений движения следует, что в направлении осей и точка совершает гармонические колебания с частотой и амплитудами и . Фазы колебаний и . Определим траекторию точки при наложении взаимно перпендикулярных колебаний. Для этого введем понятие разности фаз и уравнение движения по оси запишем в виде

.

Возведем в квадрат и сложим следующие уравнения:

,

В результате получим искомое уравнение траектории:

Это уравнение эллипса с центром в точке О. Плоскость эллипса и его размеры определяются начальными условиями, разность фаз определяет ориентацию эллипса в плоскости движения.

Ответ: , где , , , , .

Задача 3

Однородный стержень массой и длины совершает малые колебания в вертикальной плоскости вокруг оси OZ, проходящей через одну из его точек. К верхнему концу стержня прикреплена пружинка жесткостью . Найти расстояние между центром инерции стержня и осью OZ, при котором частота колебаний будет наибольшей. Трением пренебречь.

Решение.

Записываем уравнение вращательного движения стержня относительно оси OZ:

(6.8)

где  – момент силы упругости;  – момент силы тяжести (относительно точки О). Момент инерции стержня относительно оси OZ, согласно теореме Штейнера:

где ;  – центр инерции стержня (рис. 6.1)

Рис. 6.1

Спроектируем уравнение (5.8) на ось OZ, считая, что в рассматриваемый момент времени стержень движется от положения равновесия: (6.9) Предполагая колебания малыми, для силы упругости имеем , и уравнение (6.9) перепишется в виде

. (6.10)

Уравнение (6.10) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний с частотой

. (6.11)

Чтобы найти наибольшую частоту, продифференцируем по

.

Приравнивая производную нулю, находим требуемое расстояние

.

Учитывая, что по условию задачи , получаем

.

Так как , в числителе следует выбрать знак минус. Тогда . Используя стандартные правила исследования функции на экстремум, легко показать, что найденное значение а₀ соответствует максимуму функции . Подставляя в выражение (6.11), окончательно получим .

Ответ: , .

Задача 4

В сплошном однородном цилиндре радиусом сделана цилиндрическая полость радиусом с осью, проходящей через середину радиуса цилиндра. Определить период малых колебаний которые возникают, если положить цилиндр на горизонтальную плоскость и дать ему возможность кататься по ней без скольжения.

Рис. 6.2

Решение.

Задача сводится к нахождению дифференциального уравнения колебаний цилиндра. С этой целью мысленно заполним полость тем же веществом, из которого сделан цилиндр. Образовавшийся таким образом сплошной однородный цилиндр назовем цилиндр 1, а цилиндр вдвое меньшего радиуса, заполняющего полость, – цилиндр 2. Массы цилиндров обозначим соответственно и . При повороте системы из положения равновесия на угол центр масс цилиндра 1 остается на прежней высоте, а колебания возникают за счет смещения центра масс цилиндра 2.

Запишем уравнение динамики вращательного движения для цилиндра относительно мгновенной оси, проходящей через точку О:

, (6.12)

где  – момент силы тяжести цилиндра 2; и  – моменты инерции цилиндров относительно мгновенной оси.

При изменении угла величины и изменяются. Но для малых колебаний этими изменениями можно пренебречь и отнести и к тому моменту, когда система находится в положении равновесия. В этом положении с помощью теоремы Гюйгенса–Штейнера

, (6.13)

. (6.14)

Момент силы тяжести цилиндра 2:

. (5.15)

Подставляя (6.13)–(6.15) в (6.12) и учитывая, что , получаем дифференциальное уравнение колебаний:

. (6.16)

Из теории собственных колебаний следует, что квадрат собственной частоты колебаний . Тогда период колебаний равен

.

Ответ:

Задача 5

На тележке укреплен горизонтальный стержень, по которому может скользить без трения муфта массой 1 кг. К муфте прикреплены две

пружины, общий коэффициент упругости которых  = 1 Н/см. В состоянии равновесия центры масс муфты и тележки находились на одной вертикали. Какое возникает движение, если сместить муфту из положения равновесия на величину  = 6 см и прикрепить нитью к тележке, а затем нить пережечь? Масса тележки без муфты

Рис. 6.3

 =5 кг, массой пружины пренебречь. Силу трения не учитывать.

Решение.

Если отклонение муфты от общего центра масс , а отклонение тележки , то

(6.17)

Уравнение движения тележки

(6.18)

Заменяя из равенства (6.17), получаем дифференциальное уравнение колебаний:

(6.19)

Аналогично для муфты

. (6.20)

Следовательно, будут происходить гармонические колебания тележки и муфты с частотой  с^–1.

Амплитуды колебаний муфты  = 5 см, тележки  = 1 см.

Ответ: =5 см, =1 см.

Задача 6

Затухающие колебания материальной точки массой происходят в плоскости XOY по закону

Найти:

а) путь, пройденный частицей до полной остановки;

б) логарифмический декремент затухания, при котором этот путь

минимален.

Решение.

Прежде всего найдем величину скорости частицы как функцию времени:

Следовательно, величина скорости

.

Путь, пройденный материальной точкой к моменту времени

.

Путь, пройденный частицей до полной остановки:

. (6.21)

Из выражения (6.21) следует, что путь минимален, когда Учитывая, что логарифмический декремент затухания получаем

Ответ: а) б)

Задача 7

Груз массой подвешен на пружине жесткости . На него действует возмущающая вертикальная сила и сила сопротивления Определить амплитуду вынужденных колебаний груза.

Решение.

Запишем дифференциальное уравнение вертикальных колебаний груза, считая ось направленной вертикально вверх:

,

или

,

где .

Решение дифференциального уравнения вкладывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения ;  – вынужденные колебания. Будем искать в виде

.

Для определения и найдем:

,

и подставим в неоднородное дифференциальное уравнение. Приравнивая в полученном выражении коэффициенты при и , получаем:

, .

Введем обозначения:

,

,

тогда

,

где – амплитуда колебаний.

Учитывая значения , , находим .

Ответ:

Задача 8

Материальная точка массой  кг движется по горизонтальной прямой под действием силы Н. Кроме того, на точку действует возмущающая сила Н. По какому закону движется точка, если в начальный момент времени ;  м/с и возмущающая сила в начале движения совпадает по направлению со скоростью ?

Решение.

Составим дифференциальное уравнение движения точки, направив ось по ее траектории точки:

или

Частота собственных колебаний ( ) и частота вынуждающей силы ( ) совпадают, следовательно, имеет место явление резонанса. Общее решение неоднородного уравнения найдем как сумму решения соответствующего однородного уравнения и честного решения неоднородного уравнения. Будем считать ; Для определения найдем

и подставим в неоднородное уравнение. Получаем ; тогда Используя начальные условия . Имеем: ,

Ответ:

Задача 9

Найти уравнение стоячей волны в однородном тонком стержне длиной один из торцов которого закреплен, а также спектр его собственных частот. Плотность вещества стержня , модуль Юнга

Решение.

Пусть на свободном торце стержня, находящемся в начале координат, созданы гармонические колебания Тогда при условии пренебрежения затуханием вдоль стержня, лежащего на оси OX, распространяется упругая волна

, (6.22)

которая затем отражается от закрепленного торца . В каждой точке волнового поля между торцами будут складываться колебания от падающей и отраженной волны. Уравнение отраженной волны имеет вид

,

где  – сдвиг колебаний по фазе в отраженной волне в точке по сравнению с колебаниями в точке O:

(6.23)

Второе слагаемое в формуле (6.23) обусловлено неподвижностью точек закрепленного в точке торца, которая будет обеспечена, если колебания в точке в падающей и отраженной волнах будут в противофазе. Таким образом,

(6.24)

Складывая уравнения (6.22) и (6.24), получаем уравнение стоячей волны

. (6.25)

Спектр собственных частот стержня найдем из условия синфазности колебаний в отраженной волне в точке O с колебаниями источника, т. е.

.

или

Отсюда

, . (6.26)

В продольной упругой волне . Поэтому

, .

Если частота колебаний равна , то, согласно (6.26), , и уравнение стоячей волны (6.25) примет вид

Ответ:

Задача 10

Найти энергию упругой стоячей волны в однородном тонком стержне массой один конец которого закреплен, если на свободном конце созданы колебания с собственной частотой и амплитудой

Решение.

Энергия упругой волны определяется формулой

где  – плотность энергии;  – область волнового поля.

В нашем случае

;

(6.27)

где  – плотность вещества стержня;  – площадь его поперечного сечения.

Из решения предыдущей задачи следует

где ; . Поэтому с учетом того, что плотность энергии волны

.

Подставляя выражение для в формулу (6.27), находим

.

Но поскольку для собственной частоты то и

.

Ответ:

Задача 11

Плоская волна распространяется в упругой среде плотностью . Найти средний за период колебаний поток энергии плоской волны через поверхность полусферы, задаваемой уравнением .

Решение.

Вектор плотности потока энергии выражается через плотность энергии и скорость распространения волны следующим образом:

,

где

; (6.28)

.

Дифференцируя уравнение плоской волны по и получаем:

; (6.29)

. (6.30)

Подставляя выражения (6.29) и (6.30) в (6.28), находим

Следовательно,

.

Поток энергии через полусферу (см. рис. 6.4)

Рис. 6.4

. Элемент площади поверхности сферы

радиусом в сферических координатах имеет вид . Поэтому, учитывая, что , получаем

(6.31)

По определению средний за период колебаний поток энергии

(6.32)

Подставляя выражение (6.31) в (6.32), находим

Так как

.

Следовательно,

.

Ответ: