Основные законы и формулы

Если пространство отнесено к некоторой неподвижной (относительно наблюдателя) прямоугольной декартовой системе координат XYZ, то положение материальной точки в пространстве определяется ее радиусом-вектором

где , , –координаты вектора  – координатные орты.

Движение материальной точки описывается кинематическим законом

где  – время.

Скорость и ускорение материальной точки определяются формулами

; .

В случае прямолинейного равномерного движения

В случае прямолинейного равнопеременного движения ( )

где  – начальная скорость в момент времени  – перемещение тела.

При криволинейном движении вектор скорости в каждой точке траектории совпадает с направлением касательной к траектории в этой же точке. Ускорение при криволинейном движении разлагается на две составляющие: тангенциальное (или касательное) ускорение и нормальное (или центростремительное) ускорение . Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине, оно направлено по касательной и выражается формулой

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению, оно направлено к центру кривизны траектории и выражается формулой

Полное ускорение

,

а направление полного ускорения определяется углами, которые оно образует с радиусом кривизны или с касательной (направляющие косинусы).

При вращательном движении в общем случае угловая скорость

,

где  – угол, описываемый радиус-вектором за время

Угловая и линейная скорости любой точки вращающегося твердого тела связаны соотношением

,

где  – радиус-вектор рассматриваемой точки относительно произвольной точки оси вращения.

Угловое ускорение

.

В случае равномерного вращательного движения угловая скорость

где  – период вращения,  – частота вращения.

Тангенциальное и нормальное ускорения при вращательном движении могут быть выражены следующим образом:

Связь между скоростями материальной точки относительно двух различных систем отсчета выражается законом сложения скоростей

где  – скорость точки относительно неподвижной системы отсчета;  –скорость этой же точки относительно движущейся системы отсчета;  –скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.

Контрольные вопросы

1. Какие системы координат Вам известны? Из каких соображений должна выбираться система координат для описания того или иного круга явлений?

2. Какие способы описания движения Вы знаете?

3. В чем состоят преимущества векторных обозначений и векторной записи движения?

4. По каким правилам вводится вектор перемещения?

5. Чем отличается перемещение от пути?

6. В каком случае модуль перемещения и пути совпадают?

7. Что такое мгновенная скорость и как она ориентирована относительно траектории?

8. Как связаны компоненты скорости и ускорения материальной точки с производными ее координат по времени?

9. Как найти соотношения между векторами угловой и линейной скорости?

10. Какие два простейших вида движения лежат в основе любых более сложных?

11. Каковы направления нормального и тангенциального ускорений относительно траектории и чем определяется их абсолютное значение?

12. Может ли криволинейное движение быть равномерным?

13. Откуда следует, что угловая скорость является вектором?

14. Чему равно скалярное произведение скорости и ускорения в случае равномерного движения по окружности?

15. Что характерно для скоростей и ускорений точек тела, движущегося поступательно?

16. Что характерно для скоростей и ускорений точек тела, движущегося поступательно?

17. Что такое вектор углового ускорения? Как он направлен, если угловая скорость неизменна по направлению?

18. Сформулируйте первую и вторую задачи кинематики для материальной точки. Какую роль играют начальные условия при попытках предсказать характер движения тела и его местонахождение через заданный промежуток времени от начала?

19. Что представляет собой траектория кончика винта летящего самолета в системе отсчета, связанной с: а) самолетом; б) поверхностью Земли?

20. Почему дождевые капли в безветренную погоду оставляют наклонные полосы на стеклах окон равномерно движущегося автобуса? От чего зависит угол наклона полос?

21. Эскалатор метро движется вверх. С какой скоростью и в каком направлении необходимо двигаться человеку по этому эскалатору, чтобы быть неподвижным относительно перрону?

22. Может ли астронавт для измерения скорости воздушного шара использовать парус?

23. Могут ли средняя и мгновенная скорости быть равными между собой?

24. Шарик свободно падает без начальной скорости с высоты на горизонтальную поверхность. Изобразите график координаты, пути и скорости шарика. Считайте, что при соударении шарика с поверхностью направление его скорости изменяется на противоположное, а ее модуль остается неизменным. Продолжительность удара пренебрежимо мала.

25. Тяжелый шарик с помощью нити поднимается ускоренно вверх. Как будет двигаться шарик после обрыва нити? Нарисуйте графики координаты, пути, скорости и ускорения шарика.

26. Чему равны периоды вращения минутной и часовой стрелок часов?

27. Точка движется по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью. За какую долю периода она проходит путь, равный радиусу окружности?

28. Точка движется по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью. За какую долю периода модуль перемещения точки равен

радиусу окружности?

29. Определите ускорение, с которым шарик движется по наклонному желобу. Имеются желоб, шарик, линейка, секундомер, штатив.

30. Определите скорость падения шарика на дно сосуда с маслом. Имеются высокий сосуд с маслом, алюминиевый шарик, линейка, секундомер.