41. Вероятнейшее значение измеряемой величины

 Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

l₁, l₂ , ..., l_n .

Вычислим арифметическую середину X₀ = [1]/n и образуем разности:

                 (1.38)

Сложим все разности и получим [l] - n ∙ X₀ = [V]. По определению арифметической середины n ∙ X₀ = [l], поэтому:

[V] = 0.                   (1.39)

Величины V называют вероятнейшими ошибками измерений; именно по их значениям и вычисляют на практике среднюю квадратическую ошибку одного измерения, используя для этого формулу Бесселя:

  

                 

Под точностью измерений понимается степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Точность результата измерений зависит от условий измерений.

Для равноточных результатов измерений мерой точности является средняя квадратическая ошибка m, определяемая по формуле Гаусса:

.

Средняя квадратическая ошибка обладает устойчивостью при небольшом числе измерений.

Предельная ошибка.

Вследствие третьего свойства случайные ошибки, превышающие по абсолютной величине значение 2m, встречаются редко (5 на 100 измерений). Еще реже погрешности больше 3m (3 из 1000 измерений). Поэтому утроенную погрешность называют предельной ошибкой

Для особо точных измерений в качестве предельной ошибки принимают

Все вышеперечисленные ошибки называют абсолютными. В геодезии в качестве специальных характеристик точности измерений используется относительная ошибка – отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеряемой величины, которое выражается в виде простой дроби с единицей в числителе, например

42. Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения и результата измерений

Сравнение какой-либо величины с другой однородной величиной, принятой за единицу, называют измерением, а полученное при этом числовое значение – результатом измерения.

Различают измерения прямые (непосредственные) и косвенные. Основное уравнение прямого измерения

λ = N ∙ K

где λ – результат измерения; К – значение величины, принятой за единицу измерения (сравнение); N – отвлеченное число, показывающее во сколько раз λ больше N.

Косвенные измерения – такие измерения, которые получают по формулам, связывающим значения измеренных физических величин со значениями других физических величин, полученных из прямых измерений и являющихся аргументами этих формул.

Уравнение косвенного измерения

λ= f (λ1,λ2,λ3,...,λn).

Ошибки измерений

На результаты измерений влияют качество измерительных приборов, квалификация наблюдателя, состояние измеряемого объекта и изменения среды во времени.

При многократном измерении одной и той же величины из-за влияния перечисленных факторов результаты измерений могут отличаться друг от друга и не совпадать со значением измеряемой величины.

Разность между результатом измерения и действительным значением измеряемой величины называется ошибкой результата измерения.

По характеру и свойствам ошибки подразделяют на:

• грубые;

• систематические;

• случайные.

Свойства случайных ошибок измерений

Теория ошибок изучает только случайные ошибки. Под случайной ошибкой здесь и далее будем понимать разность

Δi =  Х – ℓi

гдеΔi– истинная случайная ошибка; Х – истинная величина; ℓi – измеренная величина.

Случайные ошибки имеют следующие свойства:

1. Чем меньше по абсолютной величине случайная ошибка, тем она чаще встречается при измерениях.

2. Одинаковые по абсолютной величине случайные ошибки одинаково часто встречаются при измерениях.

3. При данных условиях измерений величина случайной погрешности по абсолютной величине не превосходит некоторого предела. Под данными условиями подразумевается один и тот же прибор, один и тот же наблюдатель, одни и те же параметры внешней среды. Такие измерения называют равноточными.

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок стремиться к нулю при неограниченном возрастании числа измерений.

Три первых свойства случайных ошибок достаточно очевидны. Четвертое свойство вытекает из второго.

Если Δ1,Δ2,Δ3,...,Δn - случайные ошибки отдельных измерений, где n – число измерений, то четвертое свойство случайных ошибок математически выражается

Предел этого отношения будет равен нулю, потому что в числителе сумма случайных ошибок будет конечной величиной, так как положительные и отрицательные случайные ошибки при сложении будут компенсироваться.

Чтобы запись была компактной, Гаусс предложил сумму записывать символом

,

тогда