Операции с числами в различных сс.

Для двоичной СС:

Сложение Вычитание Умножение Таблица умножения

0+0=0 0-0=0 0*0=0 x 0 1

1=0=1 1-0=1 1*0=0 0 0 0

0+1=1 1-1=0 0*1=0 1 0 1

1+1= 0-1=0 1*1=1 -1=1

Примеры:

1)	–			–			–			101
										110
										101
										101 11110

Правило. Деление в двоичной системе счисления (и в любой другой СС тоже) производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной СС. В двоичной СС выполняется особенно просто, так как очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Для восьмеричной СС.

Правило Сложение.

1-й способ. Если сумма чисел больше базисного числа (т.е. основания СС) то нужно в старший разряд прибавить единицу (+1) и вычесть ее из уменьшаемого числа.

2-й способ (простой). Если сумма чисел больше базисного числа (т.е. основания СС). то нужно полученную сумму представить в виде 2-х слагаемых, одно из которых -это произведение базисного числа (число 8) на частное от деления суммы на число 8. а второе число это полученный остаток от деления.

Правило. Вычитание.

1-й способ. Если уменьшаемое больше вычитаемого (цифры), то из старшего разряда нужно отнять единицу и приплюсовать ее х уменьшаемому.

2-й способ (простой). Если уменьшаемое (цифра) меньше вычитаемого (цифры), то из старшего разряда нужно отнять единицу (записать ее как базисное число, т.е. число 8 и прибавить число 8 к уменьшаемому, затем отнять вычитаемое.

Примеры (СЛОЖЕНИЕ) и алгоритмы решения:

Примеры (ВЫЧИТАНИЕ) и алгоритмы:

Для шестнадцатеричной СС.

Правило. Сложение. Если сумма больше 16. то нужно из результата сложения цифр (переводят это число в 10-тичную СС) вычесть число 16 и прибавить единицу в старший разряд.

Правило. Вычитание. Если уменьшаемая цифра меньше вычитаемой цифры, нужно взять единицу из старшего разряда (уменьшить на единицу) и прибавить базисное число к цифре "уменьшаемой” и затем произвести вычитание. Результат записать в 16-ричной СС.

Примеры (СЛОЖЕНИЕ) и алгоритмы решения:

1)

2)

Примеры (Вычитание) и алгоритмы решения:

Другие СС. Аналогичным образом происходит сложение, вычитание, умножение и деление в других системах счисления.

Выполните сложение и вычитание чисел 237 и 141 в приведенных ниже примерах и убедитесь в правильности приведенных ответов. Алгоритмы решений распишите подробно.

Формы представления численных данных в ЭВМ

В ЭВМ данные помещается в ОЗУ, которая разбита на ячейки. Данные записываются в память в одной и той же форме.

Для записи чисел используется две формы:

естественная форма записи (с фиксированной точкой),

нормальная форма (с плавающей точкой).

Коды хранения числовых данных в ОЗУ. Числа, представленные в естественной форме (числа с фиксированной запятой), в ОЗУ хранятся в дополнительном коде.

Числа, представленные в нормальной форме (числа с плавающей запятой) хранятся в ОЗУ в прямом коде. Пример: 1 25,47= 12,547*10³, 1,2547* 10⁴ .

Машинные коды чисел. В ЭВМ независимо от того, в какой форме представлено число, числа хранятся специальных кодах, которые бывают прямыми, обратными и дополнительными.

Прямой код - применяется для записи положительных и отрицательных чисел, предназначенных для хранения в ОЗУ, а также для выполнения арифметических действий с положительными числами.

Обратный и дополнительный коды используются для представления отрицательных чисел при выполнении арифметических операций.

Обратный код (промежуточный) – для преобразования чисел в дополнительный код. Обратный код отрицательного двоичного числа получается из прямого кода положительного числа путем инвертирования, т.е. замена 0 на 1 и 1 на 0.

Дополнительный код образуется путем добавления (прибавления) единицы к младшему разряду обратного кода. Служит для выполнения арифметических действий с отрицательными числами.

Пример: Число 5₁₀⁼1012

прямой код 00000101

обратный код 11111010

дополнительный код 11111011

Действия над числами в естественной форме(числа с фиксированной точкой). Естественные числа - это числа с фиксированной запятой.

Рассмотрим на примерах.

Выполним действия с числами 75 и 28 в двоичной СС. Для этого выразим исходные числа в двоичной СС:

75₁₀=01001011₂

28₁₀=00011100₂

Сложить 75+28.

75₁₀=01001011₂ 0 1 0 0 1 0 1 1

28₁₀=00011100₂+ 0 0 0 1 1 1 0 0

1. 1 1 0 0 1 1 1 = 103₁₀.

Вычесть 75-28(Вычитаемое меньше уменьшаемого).

75₁₀=01001011₂

28₁₀=00011100₂

Правило.

1)отрицательное число 28 для проведения с ними арифметических действий должно быть переведено в дополнительный код.

Прямой код числа 28 – 00011100

Обратный 11100011

Дополнительный 11100100

2)затем производится сложение прямого кода первого числа и дополнительного кода второго числа, причем недостающие разряды в дополнительном коде дополняются единицами.

01001011

11100100

00101111-число 47₁₀

Вычесть 28-75(Уменьшаемое меньше вычитаемого).

Прямой код 75 - 01001011

Обратный10110100+10110101

Дополнительный 10110101 (-75) 0 0 0 1 1 1 0 0

1 1 0 1 0 0 0 1

Число получилось отрицательное. Чтобы перевести его в прямой код, машина вычитает из младшего разряда единицу (получается 1 0 1 0 0 0 0) и инвертирует, т.е. меняет нули на единицы и единицы на нули (1 0 1 1 1 1).

Действия над числами в нормальной форме числа с плавающей точкой.

Правило. Сложение производится путем сложения дробной и целой частей чисел как сложение целых чисел, причем порядок слагаемых должен быть одинаков, (т.е. во всех числах количество знаков (разрядов) в целой и в дробной частях должно быть равным). За общий порядок принимается наибольший. В дробной части числа недостающие разряды надо заполнить нулями справа, а в целой части числа недостающий разряды дополняют нулями слева, иначе можно сказать так: запятые должны располагаться под запятыми, как при записи сложения в столбик.

Практические задания

Вариант №1

1. Число 356₁₀ перевести в другие системы счисления.

2. Выполнить действия:

1. 11110111₂+1010101011₂

2. 110011₂-10101₂

3. 3567₈+4534₈

Вариант №2

1. Число 476₁₀ перевести в другие системы счисления.

2. Выполнить действия:

1. 10101011₂+11100011₂

2. 101011₂-10111₂

3. 7645₈+4444₈

Вариант №3

1. Число376₈ перевести в другие системы счисления.

2. Выполнить действия:

   1. 1100111₂+10001111₂

   2. 1111111₂-100011₂

   3. 6666₈+4444₈

Вариант №4

1. Число456₈ перевести в другие системы счисления.

2. Выполнить действия:

1. 11101₂+111111₂

2. 1111111₂-100100₂

3. 7564₈+6543₈

Вариант №5

1. Число 432₈ перевести в другие системы счисления.

2. Выполнить действия:

1. 10101010₂+111100₂

2. 10000111₂-111111₂

3. 5555₈+6666₈

Вариант №6

1. Число 563₈ перевести в другие системы счисления.

2. Выполнить действия:

1. 10101011₂+1111001₂

2. 1111111₂-101010₂

3. 4444₈+5675₈

Вариант №7

1. Число 423₈ перевести в другие системы счисления.

2. Выполнить действия:

1. 101111₂+11111₂

2. 1111111₂-100001₂

3. 4536₈+7627₈

Вариант №8

1. Число321₁₀ перевести в другие системы счисления.

2. Выполнить действия:

1. 100111₂+111110₂

2. 1000001₂-11011₂

3. 5555₈+7777₈

Вариант №9

1. Число789₁₀ перевести в другие системы счисления.

2. Выполнить действия:

1. 10101011₂+111111₂

2. 10101011₂-111111₂

3. 5454₈+3636₈

Вариант №10

1. Число543₈ перевести в другие системы счисления.

2. Выполнить действия:

1. 10101111₂+110011₂

2. 11111000₂-111100₂

3. 3344₈+4567₈

Контрольные вопросы

1. Какие СС называются непозиционными?

2. Приведите примеры непозиционных СС.

3. Назовите коды хранения чисел в ОЗУ.

4. Назовите формы представления чисел.

5. Что такое «машинные» коды чисел? Какие из них вам известны?

6. Какие СС называются позиционными ?

7. Чем характеризуются позиционные СС?

8. Что такое «нормальная» форма представления чисел?

9. Приведите правило вычитания чисел в естественной форме.

10. Что такое «основание системы»?

11. Что такое прямой, обратный, дополнительный коды представления чисел.

12. Что такое «естественная форма чисел»? Что такое «нормальная форма чисел»?

13. Приведите правило сложения чисел нормальной форме (числа с плавающей точкой)

14. Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления.

15. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной (т.е. какие "рабочие числа" в этих СС)?

16. Что такое система счисления?

17. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных, в чем их преимущества?

Содержание отчета

1. Тема, цель.

2. Решение практических заданий по вариантам.

3. Вывод.

Лабораторная работа №3

Тема: Приемы использования основных алгоритмических структур.

Цели: Приобрести навыки применения различных видов алгоритмов.

Ход работы

1. Изучить теоретическую часть.

2. Выполнить практические задания.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Оформить отчет.

Теоретическая часть

Алгоритм - это последовательность команд, ведущих к какой-либо цели.

Это строго определенная процедура, гарантирующая получение результата за конечное число шагов. Это правило, указывающее действия, в результате цепочки которых происходит переход от исходных данных к искомому результату. Указанная цепочка действий называется алгоритмическим процессом, а каждое отдельное действие - его шагом. Пример: площадь прямоугольника S=a*b.

Виды алгоритмов: вычислительные, диалоговые, графические, обработки данных, управления объектами и процессами и др.

Свойства алгоритмов – однозначность (и определенность), результативность (и выполнимость), правильность (и понятность), массовость или универсальность (т.е. применимость для целого класса задач, к различным наборам исходных данных).

Способы записи алгоритмов:

В виде блок-схем, в виде программ, в виде текстовых описаний (рецепты, например, рецепты приготовления пищи, лекарств и др.).

Основные алгоритмические конструкции и их описание средствами языков программирования.

Наиболее понятно структуру алгоритма можно представить с помощью блок-схемы, в которой используются геометрические фигуры (блоки), соединенные между собой стрелками, указывающими последовательность выполнения действий. Приняты определенные стандарты графических изображений блоков. Например, команду обработки информации помещают в блок, имеющий вид прямоугольника, проверку условий - в ромб, команды ввода или вывода - в параллелограмм, а овалом обозначают начало и конец алгоритма.

Структурной элементарной единицей алгоритма является простая команда, обозначающая один элементарный шаг переработки или отображения информации. Простая команда на языке схем изображается в виде функционального блока.

Структурный подход к разработке алгоритмов определяет использование только базових алгоритмических структур (конструкций): следование, ветвление, повторение, которые должны бать оформлены стандартным образом.

Рассмотрим основне структуры алгоритма:

	Данный блок имеет один вход и один выход. Из простых команд и проверки русловий образуются составные команды, имеющие болем сложную структуру и тоже один вход и один выход.
	Команда следования состоит только изпростых команд. На рисунке простые команды имеют условное обозначение S1 и S2. Из команд следования образуются линейные алгоритмы. Примером линейного алгоритма будет нахождение суммыдвух чисел, введенных с клавиатуры.
	Команда ветвления – это составная команда алгоритма, в которой в зависимости от условия Р выполняется или одно S1, или другое S2 действие. Из команд следования и команд ветвления составляются разветвляющиеся алгоритмы (алгоритмы ветвления). Примером разветвляющегося алгоритма будет нахождение большего из двух чисел, введенных с клавиатуры.
	Команда ветвления может бать полной и неполной формы. Неполная форма команды ветвления используется тогда, корда не обходимо выполнять действие S только в случае соблюдения условия P. Если условие P не соблюдается, то команда ветвления завершает свою работу без выполнения действия. Примером команды ветвления неполной формы будет уменьшение в два раза только четного числа.
	Команда повторения – это составная команда алгоритма, в которой в зависимости от условия Р возможно многократное выполнение действия S. Из команд следования и команд повторения составляются циклические алгоритмы (алгоритмы повторения). На рисунке представлена команда повторения с предусловием. Называется она так потому, что вначале проверяется условие, а уже затем выполняется действие. Причем действие выполняется, пока условие соблюдается. Пример циклического алгоритма может бать следующий. Пока с клавиатуры вводяться положительные числа, алгоритм выполняет нахождение их суммы. Команда повторения с предусловием не является единственно возможной. Разновидностью команды повторения с предусловием является команда повторения с параметром. Она используется тогда, корда известно количество повторений действия. В блок-схеме команды повторения с параметром условие записывается не в ромбе, а в шестиугольнике. Примером циклического алгоритма с параметром будет нахождение суммы первых 20 натуральных чисел.
	В команде повторения с постусловием вначале выполняется действие S и лиш затем, проверяется условие P. Причем действие повторяется до тех пор, пока условие не соблюдается. Примером команды повторения с постусловием будет уменьшение положительного числа до тех пор, пока оно неотрицательное. Как только число становится отрицательным, команда повторения заканчивает свою работу. С помощью соединения только этих элементарных конструкций (последовательно или вложением) можно "собрать" алгоритм любой степени сложности.

Линейный алгоритм

Приведем пример записи алгоритма в виде блок-схемы, псевдокодов и на языке Паскаль.

Использование логических высказываний и операций в алгоритмических конструкций.

В записи логических выражений помимо арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень используются операции отношения < (меньше), <= (меньше или равно), > (больше), >= (больше или равно), = (равно), <> (не равно), а также логические операции и, или, не.

Решение любой задачи на ЭВМ можно разбить на следующие этапы: разработка алгоритма решениязадачи, составление программы решения задачи на алгоритмическом языке, ввод программы в ЭВМ, отладка программы (исправление ошибок), выполнение программы на ПК, аналаз полученных результатов.

Первый этап решения задачи состоит в разработке алгоритма.

Алгоритм – это точная конечная система правил, определяющая содержание и порядок действий исполнителя над некоторыми объектами (исходными и промежуточными данными) для получения после конечного числа шагов искомого результата.

Алгоритм может быть описан одним из трех способов:

• словесным (пример в начале раздела);

• графическим (виде специальной блок-схемы);

• с помощью специальных языков программирования.

Блок-схема – распространенный тип схем, описывающий алгоритмы или процессы, изображая шаги в виде блоков различной формы, соединенных между собой стрелками.