Таким образом, можно сделать вывод:

Информационный вес каждого символа, выраженный в битах (b), и мощность алфавита (N) связаны между собой формулой:  N = 2^b

Практические задания

Задание 1

“Вы выходите на следующей остановке?” – спросили человека в автобусе. “Нет”, – ответил он. Сколько информации содержит ответ?

Решение: человек мог ответить только “Да” или “Нет”, т.е. выбрать один ответ из двух возможных. Поэтому N = 2. Значит I = 1 бит (2 = ).

Ответ: 1 бит.

Задание 2

“Петя! Ты пойдешь, сегодня в кино?” – спросил я друга. “Да”, – ответил Петя. Сколько информации я получил?

Решение: Петя мог ответить только “Да” или “Нет”, т.е. выбрать один ответ из двух возможных. Поэтому N = 2. значит I = 1 бит (2 = 2¹).

Ответ: 1 бит.

Задание 3

Сколько информации содержит сообщение, уменьшающее неопределенность знаний в 8 раз?

Решение: так как неопределенность знаний уменьшается в 8 раз, следовательно, она было равна 8, т.е. существовало 8 равновероятных событий. Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 3 бита информации (8 = 2³).

Ответ: 3 бита.

Задание 4

Какой объем информации содержит сообщение, уменьшающее неопределенность в 4 раза?

Решение: так как неопределенность знаний уменьшается в 4 раз, следовательно, она было равна 4, т.е. существовало 4 равновероятных событий. Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 2 бита информации (4 = 2²).

Ответ: 2 бита.

Задание 5

Вы подошли к светофору, когда горел желтый свет. После этого загорелся зеленый. Какое количество информации вы при этом получили?

Решение: из двух сигналов (желтого и зеленого) необходимо выбрать один – зеленый. Поэтому N = 2, а I = 1 бит.

Ответ: 1 бит.

Задание 6

Группа школьников пришла в бассейн, в котором 4 дорожки для плавания. Тренер сообщил, что группа будет плавать на дорожке номер 3. Сколько информации получили школьники из этого сообщения?

Решение: из 4 дорожек необходимо выбрать одну, т.е. N = 4. Значит по формуле I = 2, т.к. 4 = 2².

Пояснение: номер дорожки (3) не влияет на количество информации, так как вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми.

Ответ: 2бита.

Задание 7

На железнодорожном вокзале 8 путей отправления поездов. Вам сообщили, что ваш поезд прибывает на четвертый путь. Сколько информации вы получили?

Решение: из 8 путей нужно выбрать один. Поэтому N = 8, а I = 3, т.к. 8 =2³.

Пояснение: номер пути (4) не влияет на количество информации, так как вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми.

Ответ: 3 бита.

Задание 8

В коробке лежат 16 кубиков. Все кубики разного цвета. Сколько информации несет сообщение о том, что из коробки достали красный кубик?

Решение: из 16 равновероятных событий нужно выбрать одно. Поэтому N = 16, следовательно, I = 4 (16 = 2⁴).

Пояснение: события равновероятны, т.к. всех цветов в коробке присутствует по одному.

Ответ: 4бита.

Задание 9

Была получена телеграмма: “Встречайте, вагон 7”. Известно, что в составе поезда 16 вагонов. Какое количество информации было получено?

Решение: так как из 16 вагонов нужно выбрать один, то N = 16, следовательно, 1 = 4(16 = 2⁴).

Ответ: 4 бита.

Задание 10

При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до N было получено 9 бит информации. Чему равно N?

Решение: N = 2⁹= 512.

Ответ: диапазон чисел имеет значение от 1 до 512.

Задание 11

При угадывании целого числа в некотором диапазоне было получено 8 бит информации. Сколько чисел содержит этот диапазон?

Решение: N = 2⁸= 256.

Ответ: 256 чисел.

Задание 12

Сообщение о том, что ваш друг живет на 10 этаже, несет 4 бита информации. Сколько этажей в доме?

Решение: N = 2⁴= 16 этажей.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера этажей не повторяются.

Ответ: 16 этажей.

Задание 13

Сообщение о том, что Петя живет во втором подъезде, несет 3 бита информации. Сколько подъездов в доме?

Решение: N = 2³= 8 подъездов.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера подъездов не повторяются.

Ответ: 8 подъездов.

Контрольные вопросы

1. Какая наименьшая единица измерения информации вам известна.

2. Назовите более крупные производные единицы информации.

3. Опишите способ измерения информации при содержательном подходе.

4. Опишите способ измерения информации при алфавитном подходе.

Содержание отчета

1. Тема, цель.

2. Решение практических заданий.

3. Вывод.

Лабораторная работа №2

Тема: Запись чисел в различных системах счисления. Арифметические операции в различных системах счисления.

Цели: Приобрести навыки записи чисел в различных системах счисления. Изучить арифметические операции в различных системах счисления.

Ход работы

1. Изучить теоретическую часть.

2. Выполнить практические задания.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Оформить отчет.

Теоретическая часть

Человеку издревле приходилось считать различные предметы, нужно было, и записывать их количество. Самой первой, вероятно, возникла унарная система записи, при которой числа обозначались соответствующим количеством черточек (или засечек на деревяшке).

Унарная запись получается очень громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились разные условные обозначения для различных чисел. Например, многие народы использовали в качестве цифр буквы, к которым добавляли специальные значки. На Руси таким знаком было

Но все равно, число получалось сложением цифр, поэтому система оставалась сложной.

Системой счисления называют совокупность символов (цифр) и правил их использования для представления чисел.

В римской системе счисления появилась одно новая идея: хотя там тоже для обозначения чисел использовали буквы, но роль их зависела от порядка записи (значение могло не только прибавляться, но и вычитаться). Развитие этой идеи привело к появлению современных позиционных систем счисления.

Мы настолько привыкли к нашей обычной – десятеричной системе, что даже не задумываемся насколько, гениальной была идея, положенная в ее основу: в позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее позиции (места) в числе. Например, число 444 записано тремя одинаковыми цифрами, но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так: 444= 4*100 + 4*10 + 4*1.

Система счисления (СС) – это способ записи чисел при помощи определенного набора цифр и букв, называемого алфавитом символов.

Системы счисления бывают позиционные (значение цифры зависит от ее положения в числе непозиционные (значение цифры независимо от ее положения в числе)

Непозиционные СС – используются для обозначения глав дат.

В этих СС значение цифры не зависит от ее положения в числе, так как каждая цифра уже имеет свой вес.

Непозиционные характеризуются готовым набором символов, каждый из которых определяет какое-то конкретное число (т.е. имеет свой вес). Остальные числа образуются от комбинации этих символов

Одна из таких СС-римская система счисления – самая распространенная. В римской СС цифровые символы обозначены знаками и буквами:

I= 1 L =50

V= 5 С =100

X= 10 М =1000

С помощью комбинаций этих символов записывается любое число.

Пример: 1969₁₀ = 1000+900+60+9 =1000 = М

900 = (1000-100) = МС

60 = (50+10) = LX

9 = (10- 1) = IX

Получаем:1969₁₀ = MMCLXIX_{римская}

Правила образования чисел в римской СС:

• чтобы выразить число, меньшее по величине, чем ближайшее к имеющемуся знаковому обозначению, нужно перед этим знаковым символом записать знаковые символы тех чисел, которые нужно вычесть из большего числа;

• чтобы выразить число, большее по величине, чем ближайшее к имеющемуся знаковому символу, то знаковые символы того числа, которое надо сложить с большим числом, надо записать справа (сзади) за этим знаковым символом.

Примеры:

4 = 5-1 будет записано так: IV.

6 = 5 + 1 будет записано: VI.

9=10-1IX11 = 10+1XI

40= 50- 10 XL60 = 50+20LXX

Задание: перевести числа 1647, 179, 2269 в римскую СС.

В позиционных СС величина (вес) каждой цифры (знака) зависит от той позиции, которую цифра (знак) занимает в заданном числе.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает автоматически справа налево от младших разрядов к старшим.

Число, обозначающее систему счисления, записывается как нижний индекс справа за числом, которое мы переводим.

Позиционные СС характеризуются определенным алфавитом и основанием(базисом)системы. Базисное число – это число, определяющее количество рабочих цифр в данной СС.

Алфавит позиционной СС это набор определенных знаков (цифр и букв), используемых для изображения чисел в данной системе счисления (т.е. “рабочие цифры”).

Основание позиционной СС – это количество “рабочих цифр” в данной системе счисления.

Пример. Число 24425 состоит (справа налево):5 – единицы, 2 – десятки, 4 – сотни,4 – тысячи. 2 – десятки тысяч.

Пример. В 10-тичной СС число 555– содержит одну цифру 5, но “вес" каждой – разный:

число единиц равно 5 – (разряд единиц),

число десятков равно 5 – (разряд десятков),

число сотен тоже равно 5 – (разряд сотен).

Запись “555” – это свернутая форма записи числа в десятичной СС (привычная нам). Развернутая форма (полная) записи этого числа 555 такая:555 =5*100+5*10+5 1=5*10²+5*10¹+5*10⁰.

Получаем:555₁₀= 5*10² +5* 10¹ + 5*10⁰.

Из такой записи видим, что в позиционной СС число записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (у нас это число = 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры (знаки) данного числа.

Для записи целых чисел показатель основания записывают как число положительное. Для записи десятичных дробей указывают значения степеней основания так: в целой части – положительные значения, увеличивая их от нуля справа налево в дробной части – отрицательные значения, увеличивая их с единицы слава направо.

Пример:555.55₁₀=5*10²+5*10¹+5*10⁰+5*10^-1+5*10^-2= 5*100+5*10+5*1+5*0.1+5*0.01=500+50+5+0.5+0,05=550+0.55=555.55₁₀;

Правило. Любое число в любой позиционной СС можно представить в виде формулы:

A_g=a_m-1*g^m-1+ a_m-2*g^m-2+ a_m-3*g^m-3+…+a₀*g⁰+a_-1*g^-1+a_-2*g^-2+…+a_-n*g^-n,

где А – заданное число,

g – основание СС заданного числа (),

а – значения цифр в каждом разряде заданного числа (в формуле это коэффициенты).

m – количество цифр в целой части числа,

n – количество цифр в дробной части числа (запись дробной части выделена синим цветом).

В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Таблица 1. Соотношения простых чисел:

п=10		п=2	n=8		п=16
0		0000	0		0
1		0001	1		1
2		0010	2		2
j		0011	3		3
4		0100	4		4
5		0101	5		5
6		0110	6		6
7		0111	7		7
8		1000	10		8
9		1001	11		9
10		1010	12		А
11		1011	13		B
12		1100	14		С
13		1101	15		D
14		1110	16		Е
15		1111	17		F
16	1000		20	10

Задание 1.

Записать в тетради общие формулы представления чисел в развернутой форме в 2-ичной. 8-ричной, 16-ричной, 10-тичной системах счисления.

В программах для ЭВМ используются следующие системы счисления

Наименование системы счисления	Основание системы n	Рабочие цифры и символы(a)	Количество рабочих цифр (m)
Десятичная	10	0,1.2,3,4,5,6,7,8,9	10
Двоичная	2	0,1	2
Восьмеричная	8	0,1.2,3,4,5,6,7	7
Шестнадцатеричная	16	0,1.2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F	16

Примеры записи чисел в разных системах счисления:

Десятичная СС: 689₁₀=6*10²+8*10¹+9*10⁰

Двоичная СС: 100101₂=1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰

Восьмеричная: 642₈=6*8²+4*8¹+2*8⁰

Шестнадцатеричная СС: 2A4F₁₆=2*16³+A*16²+4*16¹+F*16⁰,где A=10,F=15

Перевод чисел из 10-й системы счисления в другую СС.

Правило. Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, необходимо исходное число разделить на основание новой системы счисления. Полученное частное вновь поделить на основание новой системы счисления, и выполнять деление до тех пор. пока частное не будет меньше основания новой системы счисления. Полученные остатки от деления, начиная с последнего, записываются в обратном порядке. Это и будет запись числа в новой системе счисления.

Пример. Число 135 перевести из 10-тичной СС в 2-ичную, 8-ричную и 16-ричную системы счисления.

1)	135	2							2)	135	8			3)	135	16
	134	67	2							128	16	8			128	8
	1	66	33	2						7	16	2			7
		1	32	16	2						0
			1	16	8	2
				0	8	4	2
					0	4	2	2
						0	2	1
							0

Задание 2.

Перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную СС следующие числа 1275,973, 172

Обратный перевод чисел из любой СС в 10-тичную.

Правило.

1) Чтобы перевести число из любой СС в исходную СС (обратный перевод), нужно каждую цифру этого числа умножить на основание исходной СС. начиная с нулевой цифры справа налево, и произведения сложить. Если переводится десятичная дробь, следует применить правило для записи целой и дробной части числа.

2) Обратный перевод чисел осуществляется по формуле:

где A – заданное число,

g – основание СС заданного числа (=2 для 2-ичной СС, для других СС - подобно),

m – число цифр в целой части числа.

n – число цифр в дробной части числа,

a – значение цифр заданного числа(запись дробной части числа выделена синим цветом).

Пример:

110110₂= 1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰=54₁₀

66₈=6*8¹+6*8⁰=48+6=54₁₀ 9A₁₆=9*16¹+10*16⁰=144+10=154₁₀

13,4₈=1*8¹+3*8⁰+4*8^-1=8+3+0.5=11.5₁₀ (это число – десятичная дробь)

Задание3.

Перевести в десятичную СС следующие числа:

101,11₂=5,75₁₀ 1011001₂ 1011,101₂

125,7₈=86₁₀ 1253₈ 175,132₈

A19BA₁₆=2585726…₁₀ 16A3₁₆ 2BAFD₁₆

Перевод чисел с основанием, являющимся степенью числа 2 и обратный перевод. К таким СС относятся двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Правило. Перевод из двоичной СС в восьмеричную СС. Двоичное число делится на группы по 3 цифры с конца(справа налево) и каждая группа преобразуется числом в новом СС

10.000.101₂=205₈

111.000.101.100₂=7054₈

1.011.001.101₂=1315₈

Правило. Для обратного преобразования каждая восьмеричная цифра записывается в виде триады.

Правило. Из двоичной СС в шестнадцатеричную СС: аналогично, но отделяем по 4 цифры

0110.0110.1011₂=66B₁₆

1011.1111.0111₂=BF7₁₆

10.1010.0111.0001₂=2A71₁₆

Правило. Для обратного преобразования каждая шестнадцатеричная цифра записывается в виде тетрады.

Перевод правильных и неправильных дробей в разных СС. Если нужно перевести обыкновенную дробь, то сначала ее нужно перевести в десятичную дробь, а затем применить правила перевода десятичных дробей.

Правило. Перевод десятичных дробей, меньших единицы (правильные дроби).

1. необходимо отделить вертикальной чертой дробную часть;

2. умножить дробную часть на основании новой системы счисления;

3. результат записать строго под исходным числом, начиная с младшего разряда; если получится перенос в целую часть, то записать ее слева от черты;

4. умножение дробной части проводится до тех пор пока не будет получено число с заданной точностью, либо справа от черты не будет 0.

0,728₁₀=0,564₈

Задание 4. Перевести из десятичной СС в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную СС следующие правильные дроби: .

Перевод десятичных дробей, больших единицы (неправильные дроби).

1) Отдельно переводится целая часть, отдельно - дробная.

2) В итоговой записи полученного числа целая часть от дробной отделяются запятой.

Перевод чисел из 10-тичной СС с основание P>1 в систему и обратный перевод. Перевод вещественных чисел (целые числа и десятичные дроби).

Вещественные числа – это числа целые и дробные (десятичные и обыкновенные дроби).

Десятичные дроби бывают меньше единицы (правильные дроби) и больше единицы (смешанные и неправильные дроби).

Обыкновенные дроби бывают правильные (числитель меньше знаменателя), неправильные (числитель больше знаменателя) и смешанные (содержат целую и дробную часть).

Правило. При переводе чисел из десятичной СС в систему с основанием Р > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1. если переводится целое число, то оно делится на Р, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на Р, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на Р выписываются в порядке, обратном их получению;

2. если переводится десятичная дробь меньше единицы, то это число умножается на Р после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть опять умножается на Р и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или пока не достигнут результат нужной точности (сколько требуется получить знаков после запятой). Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения (результат (десятичное число) читается сверху вниз).

Результатом перевода может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием Р.

Перевод смешанных чисел (обыкновенные дроби).

Правило.

1. Необходимо сначала преобразовать смешанную дробь из обыкновенной в десятичную.

2. Затем полученную десятичную дробь (имеющую целую и дробную части) перевести по правилу перевода десятичных дробей, больших единицы, (т. е. каждая часть переводится отдельно по своему правилу).

3. Записать полученный результат, отделив целую и дробную часть запятой.

Обратный перевод (для всех чисел).

Правило. Обратный перевод. При переводе чисел из системы счисления с основанием Р в десятичную систему счисления необходимо:

1. Пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой – слева направо (начальный номер – 1).

2. Записать число в соответствии с приведенной выше формулой (в виде суммы произведений (соответствующих значений разрядов на основании системы счисления в степени, равной номеру разряда).

3. Затем вычислить сумму этих произведений. Полученный результат- это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.