2.2.2 Закон рідкісних подій

Якщо у схемі Бернуллі ймовірність події А досить мала, а кількість випробувань п досить велика, причому , то має місце формула Пуассона:

,

яка визначає ймовірність того, що в досить великій серії з п випробувань відбудеться т разів рідкісна подія А (ймовірність якої досить мала, причому ).

2.2.3 Закон великих чисел

Подію можна розглядати як подію , яка полягає в тому, що відносна частота події А в даній серії з п випробувань дорівнює . Виявляється, що для будь-якого числа має місце нерівність

,

коли п – досить велике, тобто .

При розв’язуванні задач необхідно встановити, що експеримент, який розглядається, задовольняє схемі Бернуллі, тобто:

• випробування, що проводять – послідовні і незалежні;

• кожне випробування має відбутися або не відбутися;

• ймовірність успіху в кожному випробуванні постійна і дорівнює р.

Аналіз і розв’язування задач даної теми можна проводити за схемою:

1. Якщо кількість незалежних випробувань n мале, то для обчислення ймовірності появи події k раз використовують формулу Бернуллі:

. (2.1)

Найімовірніше число успіхів в схемі Бернуллі знаходимо за таким правилом: для знаходження найімовірнішої кількості появ успіхів у схемі Бернуллі потрібно знайти спочатку величину . При цьому:

а) якщо - ціле, то є два розв’язки: і .

б) якщо - не ціле, то розв’язок один, а саме, ціла частина , тобто .

2. Якщо кількість незалежних випробувань n достатньо мала і треба знайти ймовірність появи події від k₁ до k₂ раз, то використовують формулу

(2.2)

Імовірність того, що в n випробуваннях подія А настане:

	менше k раз
	більше k раз
	не менше k раз
	не більше k раз
	принаймні один раз

3. Якщо кількість незалежних випробувань , а ймовірність , , то для обчислення використовують локальну теорему Мавра-Лапласа в наближеному вигляді: (2.3)

де , а - функція Гаусса, яка має такі властивості:

1. функція Гаусса парна ;

2. в точці вона набуває свого максимального значення ;

3. функція приймає лише невід’ємні значення, для

Графік функції зображено на рисинку 2.1, а її значення знаходять за допомогою спеціальної таблиці.

4. Якщо кількість незалежних випробувань , а ймовірність появи події , , то для обчислення ймовірності використовують теорему Пуассона у наближеному вигляді: . (2.4)

Формулою Пуассона допустимо користуватись і у таких випадках: при , якщо ; при , якщо ; при , якщо .

4. Якщо кількість незалежних випробувань , то для обчислення ймовірності появи події від k₁ до k₂ раз:

1. при малій кількості доданків у сумі і ймовірності появи події в кожному випробуванні використовують формулу (2.5)

2. при малому числі доданків в сумі і ймовірності появи події в кожному випробуванні використовують формулу (2.6)

3. при достатньо великій кількості доданків використовується інтегральна теорема Муавра – Лапласа в наближеному вигляді (7) де , , - функція Лапласа, яка має такі властивості:

1. функція Лапласа непарна ;

2. ;

3. функція зростає на всій числовій осі;

4. прямі і є горизонтальними асимптотами для функції Лапласа, для .

Значення функції знаходять за спеціальною таблицею.