1.4 Питання до захисту

1. Основні комбінаторні формули.

2. Види подій і операції над ними.

3. Статистичне, геометричне, класичне та аксиоматичне означення ймовірності.

4. Означення суми подій. Теореми додавання ймовірностей несумісних і сумісних подій.

5. Означення добутку подій. Які події називаються незалежними.

6. Означення умовної ймовірності. Теореми множення ймовірностей залежних і незалежних подій.

7. Формула повної ймовірності.

8. Формула Байєса.

Лабораторна робота №2 повторні незалежні випробування

2.1 Мета роботи

Повторення основних прийомів створення та форматування таблиць засобами MS Excel. Вивчення нових математичних функцій, що входять в MS Excel. Опанувати методику використання пакетів прикладних програм Excel при розв’янні задач з теорії ймовірностей. Розв’язок задач з теми «Повторні незалежні випробування».Навчитися використовувати на практиці формулу Бернуллі, докальну та інтегральну теорему Лапласа, формулу Пуассона в випробуваннях з повтореннями.

2.2 Короткі теоретичні відомості

2.2.1 Схема незалежних випробувань, або схема Бернуллі

Серію з п випробувань, кожне з яких відповідає фіксованій імовірнісній моделі (, S, P) даного випадкового експерименту, називають схемою випробувань Бернуллі.

Якщо зафіксувати подію , ймовірність якої , то в даній серії з п випробувань ця подія може відбутися k рази, . Тому подія A визначає нові події , кожна з яких полягає в тому, що у даній серії з n випробувань подія A відбулася k разів. Подія може бути підмножиною нового простору елементарних подій ₁, елементами якого є набори ( ), де ( ), коли подія A відбувається (не відбувається) в і-му випробуванні.

Нехай відбуваються послідовні незалежні випробування, в кожному з яких може настати чи не настати певна подія А і ймовірність успіху при кожному випробуванні одна й таж сама і дорівнює р ( ). Ймовірність того, що в цій серії подія А настане k раз буде дорівнювати:

( , ).

Доведення. Нехай поява події А буде означати успіх, р – ймовірність успіху, - успіх при і-му випробуванні, - невдача при і-му випробуванні, тоді , , ( ). Знайдемо спочатку ймовірність того, що подія А настала при перших k випробуваннях (хоч від цього нічого не залежить, подія може настати в будь-якому з випробувань) використовуючи теорему множення для незалежних подій одержимо:

Але k випробувань, при яких настане подія A, можна вибрати способами, тоді, оскільки всі комбінації між собою несумісні, то за теоремою додавання одержимо:

.

При цьому набір чисел ( ) називають біномним розподілом, а саму формулу біноміальною, причому .

Події ( ; ; ; …; ) попарно несумісні і при кожній серії з n послідовних незалежних випробувань одна з них обов’язково настає, тому: .

Останню формулу можна отримати і безпосереднім обчисленням:

.

Виконаємо дослідження як функції від k при фіксованому n. Знайдемо при якому k₀ вона досягне максимуму. Природно назвати таке k₀ – найімовірнішим числом успіхів.

Спочатку знайдемо відношення двох послідовних значень цієї функції: , ( ).

Звідси видно, що це відношення спадає при зростанні k (бо чисельник зменшується, а знаменник збільшується). Знайдемо, при яких k це відношення більше одиниці: , при , або , , .

Отже:

при ;

при ;

при .

Оскільки , то робимо висновок, що величина при зростанні k спочатку зростає до певного максимуму, а потім спадає. Знайдемо при якому k досягає max. Можливі два випадки:

1. якщо - ціле число, то маємо два значення для максимальної ймовірності: і .

2. якщо не є цілим числом, то маємо одну максимальну ймовірність для значення k, яке можна наблизити до , тобто цілу частину цього числа. Тоді ми гарантовано одержимо ціле число k₀ між числами і . Число k₀ називають також модою.

Користуватися формулою Бернуллі для знаходження ймовірності k успіхів у n експериментах при великих значеннях n важко, оскільки доводиться оперувати з великими числами. Ось наближено деякі значення факторіалів:

10!	20!	30!	40!	50!

Існують асимптотичні формули, що дещо спрощують обчислення.

Формула Стерлінга для обчислення факторіалів: .