3.2.1 Закони розподілу
Біномний закон розподілу. Цілочислова випадкова величина Х має біномний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі.
. (3.1)
Закон розподілу Пуассона. Цілочислова випадкова величина має закон розподілу Пуассона, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Пуассона
, (3.2)
де
.
Розподіл Пуассона визначає ймовірність
того, що в серії з великої
кількості
рідкісних випробувань кількість успіхів
набуває значення
,
— параметр розподілу.
Геометричний закон розподілу. Цілочислова випадкова величина Х має геометричний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою
, (3.3)
де
– ймовірність появи події А в кожному
випробуванні,
,
Х=k – кількість
випробувань до появи події А в серії
незалежних повторних випробуваннях.
Гіпергеометричний закон розподілу. Цілочислова випадкова величина має гіпергеометричний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою
. (3.4)
Гіпергеометричний
закон розподілу ймовірностей відбувається
за таких обставин:
нехай в партії з
виробів є
стандартних
.
З партії вибираються
виробів, причому відібраний виріб перед
вибором наступного в партію не
повертається. Випадкова
величина
— число
стандартних деталей серед
відібраних має гіпергеометричний закон
розподілу.
3.2.2 Числові характеристики випадкових величин
Кожен закон розподілу випадкової величини доповнюється кількісними показниками, які називають числовими характеристиками цього розподілу. Вони узагальнено характеризують випадкову величину. Найбільш часто використовують три числові характеристики: математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення від математичного сподівання.
Математичне сподівання дискретної випадкової величини визначається як сума добутків можливих значень випадкової величини на відповідні ймовірності:
. (3.5)
Дисперсією випадкової величини X називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання.
. (3.6)
Формула для розрахунку дисперсії дискретної випадкової величини має такий вигляд:
. (3.7)
Робоча формула для обчислення дисперсії
. (3.8)
Числову характеристику закону розподілу випадкової величини
, (3.9)
називають середньоквадратичним відхиленням, або стандартним відхиленням.
Справедливі формули для обчислення основних числових характеристик для основних законів розподілу ймовірностей.
Таблиця 3.2 – Формули числових хакартеристик
Біномний закон розподілу |
|
|
|
Закон розподілу Пуассона |
|
|
|
Геометричний закон розподілу |
|
|
|
Гіпергеометричний закон розподілу |
|
|
|
Практичні завдання
3.3.1 Завдання 1
Закон
дискретної випадкової величини X –
відсоткова зміна вартості акцій стосовно
їх поточного курсу на протязі 4 місяців,
заданий у табличній формі. Побудувати
функцію розподілу F(x) і накреслити її
графік. Обчислити (x)
Аs,
Ек. Чому дорівнює
?
Таблиця 3.1 – Варіанти завдань
№1 |
|
1 |
2 |
3 |
5 |
|
0,03 |
0,17 |
0,25 |
0,55 |
|
№2 |
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
0,13 |
0,22 |
0,41 |
0,24 |
|
№3 |
|
1 |
3 |
5 |
7 |
|
0,17 |
0,21 |
0,32 |
0,30 |
|
№4 |
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
0,12 |
0,19 |
0,43 |
0,26 |
|
№5 |
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
0,14 |
0,23 |
0,33 |
0,30 |
|
№6 |
|
1 |
4 |
5 |
7 |
|
0,09 |
0,15 |
0,24 |
0,52 |
|
№7 |
|
1 |
2 |
3 |
7 |
|
0,52 |
0,11 |
0,08 |
0,29 |
|
№8 |
|
1 |
3 |
5 |
8 |
|
0,62 |
0,12 |
0,09 |
0,17 |
|
№9 |
|
1 |
2 |
6 |
8 |
|
0,73 |
0,12 |
0,07 |
0,08 |
|
№10 |
|
1 |
4 |
5 |
9 |
|
0,69 |
0,13 |
0,06 |
0,12 |
|
№11 |
|
1 |
3 |
4 |
10 |
|
0,72 |
0,14 |
0,06 |
0,08 |
|
№12 |
|
1 |
5 |
10 |
15 |
|
0,81 |
0,06 |
0,05 |
0,08 |
|
№13 |
|
1 |
2 |
4 |
6 |
|
0,75 |
0,15 |
0,04 |
0,06 |
|
№14 |
|
1 |
3 |
7 |
9 |
|
0,69 |
0,19 |
0,07 |
0,05 |
|
№15 |
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
0,68 |
0,16 |
0,09 |
0,07 |
|
№16 |
|
1 |
2 |
6 |
9 |
|
0,59 |
0,28 |
0,07 |
0,06 |
|
№17 |
|
1 |
4 |
5 |
7 |
|
0,67 |
0,25 |
0,05 |
0,03 |
|
№18 |
|
1 |
2 |
5 |
9 |
|
0,66 |
0,26 |
0,07 |
0,01 |
|
№19 |
|
1 |
3 |
8 |
10 |
|
0,68 |
0,23 |
0,06 |
0,03 |
|
№20 |
|
1 |
4 |
7 |
10 |
|
0,58 |
0,29 |
0,08 |
0,05 |
|
№21 |
|
1 |
3 |
9 |
10 |
|
0,54 |
0,38 |
0,05 |
0,03 |
|
№22 |
|
1 |
2 |
4 |
9 |
|
0,59 |
0,32 |
0,07 |
0,02 |
|
№23 |
|
1 |
3 |
7 |
11 |
|
0,56 |
0,31 |
0,07 |
0,06 |
|
№24 |
|
1 |
4 |
5 |
7 |
|
0,51 |
0,39 |
0,06 |
0,04 |
|
№25 |
|
1 |
2 |
5 |
9 |
|
0,63 |
0,29 |
0,06 |
0,02 |
Приклад розв’язку завдання 1 наведено нижче.
Рисунок 3.1- Розв’язання завдання 1
Так як As≠0, то розподіл не симетричний відносно математичного сподівання і Es≠0 і Es>0, то закон розподілу не нормальний і щільність ймовірності буде гостровершинною.
Отже, функція розподілу має вигляд:
Графік функції приведено на рисунку 3.2:
Рисунок 3.2 - Графік функції F(x)