Лабораторна робота №1 вступ до теорії ймовірностей

1. Мета роботи

Повторення основних прийомів створення та форматування таблиць за допомогою MS Excel. Вивчення нових математичних функцій, що входять до MS Excel. Ознайомлення з повною ймовірністю та з формулою Байєса. Розв’язання задач з тем «Елементи теорії ймовірностей. Класичне означення ймовірності», «Теореми додавання і множення ймовірностей» та «Повна ймовірність. Формула Байєса».

2. Короткі теоретичні відомості

1.2.1 Класичне означення ймовірності

Імовірністю події А називається відношення числа рівноможливих випадків , сприятливих події А, до загального числа N рівноможливих випадків, при цьому воно є скінченим або зчисленим.

1.2.2 Задача на безповторну вибірку. Гіпергеометричний розподіл

Нехай в урні знаходиться 11 куль, R-білі, інші чорні. З урни дістають m куль, знайти ймовірність того, що r – з них білі.

	Було	Вибрали
Загальна кількість	M	m
Білі кулі	R	r
Чорні кулі	M-R	m-r

Задача має наступний розв’язок: P(A)=

1.2.3 Основні комбінаторні формули

Нехай задана скінчена множина з n елементів

Означення

Довільна k – елементна підмножина множини з n елементів називається сполученням з n елементів по k. Порядок елементів у підмножині не є суттєвим.

Число сполучень з n елементів по k позначають , і визначають за формулою

Множина називається впорядкованою, якщо кожному її елементу поставлене у відповідність деяке число (номер елемента) від 1 до n так, що різним елементам відповідають різні числа.

Означення

Різні впорядковані множини, що відрізняються порядком елементів (тобто можуть бути отримані з тієї ж самої множини), називаються перестановками цієї множини.

Число перестановок P_n множини, що містить n елементів, дорівнює

Означення

Упорядковані k-елементні підмножини множини з n елементів називаються розміщеннями з n елементів по k. Різні розміщення з n елементів по k відрізняються або елементами, або їх порядком.

Число розміщень з n елементів по k позначається через , і визначають за формулою

1.2.4 Теореми додавання та множення ймовірностей

Імовірність події А, обчислена за умови, що відбулася подія В, називається умовною ймовірністю і позначається символом Р(А/В).

1.2.4.1 Формули множення та додавання ймовірностей

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(В/A).

Подія А незалежна від події В, якщо має місце рівність

Р(А/В)=Р(А),

тобто, якщо настання події В не змінює ймовірності події А. Але тоді і Р(В/А)=Р(В), тобто подія В також незалежна від А.

Якщо події А и В незалежні, то

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Для будь-яких подій А і В має місце формула (теорема додавання для двох подій)

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

В окремому випадку, коли АВ=Ø,

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Якщо події незалежні в сукупності й утворюють повну групу подій, то

Зокрема, Звідси .

3.1.1 Формула повної ймовірностей

Бейєс або Байєс Томас (1702-1761) – англійський математик, член Лондонського Королівського товариства з 1742р. Народився у м. Лондон. Був священником. У сучасній теорії ймовірностей і математичній статистиці важливу роль відіграють формули Байєса, які дають можливість емпірично оцінювати ймовірність подій (гіпотез).

Наслідком двох теорем ймовірностей – теореми додавання і теореми множення – є формули повної ймовірності і формула Байєса.

Теорема. Якщо подія А настане за умови, що настане одна з подій Н₁, Н₂, …, Н_п, які є попарно несумісними і в сумі дають вірогідну подію  ( ), то має місце формула повної ймовірності:

,

або короткий запис:

.

Доведення. За умовою подія А настане тоді, коли настане одна з сумісних подій Н₁А, Н₂А, …, Н_пА. Користуючись теоремою додавання знайдемо , а використавши до правої частини останньої рівності теорему множення ймовірностей залежних подій матимемо потрібну формулу.