2.7. Задачи для самостоятельного решения
Написать пять первых элементов каждой из последовательностей, заданных их общими элементами:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Зная несколько первых элементов последовательности, написать формулу общего элемента таких последовательностей:
5.
6.
…
7.
2; 10; 26; 82; 242; 730; ...
Написать пять первых элементов последовательности, используя формулу общего элемента этой последовательности:
8.
9.
Ограничены ли последовательности:
10.
.
11.
.
12.
. 13.
.
14. 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ...
Пользуясь определением, доказать, что последовательности являются бесконечно большими:
15.
.
16.
.
17.
. 18.
Используя определением, доказать, являются ли бесконечно малыми такие последовательности:
19.
. 20.
.
21.
.
22.
23.
Показать, что частное двух бесконечно
больших последовательностей
и
может быть любой последовательностью,
используя в качестве примеров
последовательности
и
.
24.
Докажите, что если
– бесконечно малая последовательность,
,
то
– бесконечно большая последовательность.
25.
Покажите, что неограниченная
последовательность
не является бесконечно большой.
26.
Докажите, что последовательность
имеет своим пределом число 2.
27.
Докажите, что последовательность
имеет своим пределом число 0.
Используя определение предела, докажите, что:
28.
. 29.
.
30.
.
31.
.
(Указание:
представить выражение общего элемента
последовательности в виде
или
.)
32.
33.
34.
.
35.
Докажите, что если
,
то
.
36.
Известно, что последовательность
бесконечно большая, а последовательность
имеет конечный предел
.
Что можно сказать о последовательности
?
37.
Известно, что
.
Найдите номер
,
начиная, с которого выполняется
неравенство
,
где
.
Приведите
примеры таких последовательностей:
и
,
что
,
кроме того:
38.
.
39.
40.
41.
не существует.
Приведите
примеры таких последовательностей
и
,
чтобы
,
и, кроме того:
42.
. 43.
.
44.
45.
не существует.
46.
Известно, что последовательности
и
расходятся. Могут ли последовательности
,
быть сходящимися? расходящимися? Ответы
обоснуйте примерами последовательностей
.
47.Докажите,
что
(
– любое число).
48.Докажите,
что последовательность с общим элементом
сходится
и найдите ее предел.
49.Последовательность
задана рекуррентным соотношением
.
Докажите, что эта последовательность
сходится, и найдите ее предел.
Найти пределы:
50.
. 51.
.
52.
. 53.
.
54.
. 55.
.
56.
.
57.
.
58.
59.
60.
. 61.
.
62.
. 63.
.
64.
. 65.
.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
