9

Лабораторная работа №24-25

Исследование резонансов в последовательных и параллельных lc-контурах

Содержание 

1. Сведения из теории

I. Резонанс напряжений

II. Резонанс токов

2. Программа работы

3. Порядок выполнения работы

4. Содержание отчета

 

Цель работы – исследование резонансов в электрических цепях с последовательным и параллельным соединением индуктивности и ёмкости.

1. Сведения из теории

Перед выполнением работы студенты изучают материал [1],[2],[3].

Резонансом в электрической цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор, называется такой режим, при котором входное сопротивление цепи или входная проводимость являются чисто активными. То есть реактивная составляющая входного сопротивления или входной проводимости равна нулю. При этом напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе. В указанных цепях возможны резонанс напряжений и резонанс токов.

I. Резонанс напряжений возникает при последовательном соединении катушки индуктивности и конденсатора (рис.1).

Рис.1. Схема последовательного резонансного контура

Согласно второму закону Кирхгофа для этой цепи:

,

где R_к - активное сопротивление катушки, L - ее индуктивность.

Следовательно,

Действующее значение тока в цепи:

, (1)

а угол сдвига фаз между током и напряжением

. (2)

Комплекс входного сопротивления цепи

,

где Z - модуль входного сопротивления цепи:

. (3)

В режиме резонанса модуль входного сопротивления цепи и , то есть .

При заданном напряжении U ток в цепи будет максимальным, напряжение на индуктивности и на емкости равны между собой:

.

Однако следует помнить, что напряжение на катушке индуктивности , следовательно, в режиме резонанса .

Одной из характеристик резонансной цепи является добротность контура Q, которая представляет собой величину, равную отношению реактивного сопротивления катушки индуктивности или конденсатора к активному сопротивлению (в режиме резонанса):

.

Реактивное сопротивление цепи в режиме резонанса носит название волнового сопротивления: .

Добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на индуктивности или емкости превышает напряжение на входе цепи в резонансном режиме.

При заданных L и C резонанс наступит при угловой частоте

. (4)

При заданных ω и C резонанс наступит при , а при заданных ω и L резонанс наступит при .

Из (4) следует, что при постоянном приложенном напряжении резонанс может быть достигнут тремя путями:

1. изменением частоты f при неизменных L и C;

2. изменением индуктивности L катушки при неизменных f и С;

3. изменением емкости конденсатора C при неизменных f и L.

В лабораторной работе резонанс получают первым и вторым способами. Общий вид теоретических характеристик для этих режимов показан на рис.2,3.

Ток рассчитывается по формуле (1), резонансная частота - по формуле (4), напряжения по формулам (5):

; ; . (5)

При частотах от 0 до ω₀, , и в этой области частотной характеристики ток опережает напряжение на зажимах цепи. При частотах от ω₀ до ∞, , ток отстает от приложенного напряжения.

Анализ выражений U_L и U_C показывает, что максимум наступит при , а максимум - при , где - затухание. Чем больше d, тем больше расхождение частот ω₁ и ω₂. При и максимумов не имеют. При увеличении частоты U_L монотонно возрастает, а U_C монотонно убывает.

Зависимости I, U, U_L, U_C, φ, x_L, x_C, x от ω называются частотными характеристиками. Практически при резонансе напряжение на катушке индуктивности U_к больше напряжения на конденсаторе U_C. Вызвано это тем, что активным сопротивлением катушки нельзя пренебречь, в то время, как активное сопротивление конденсатора весьма мало по сравнению с реактивным, и им можно пренебречь. Зная напряжение на катушке U_к в режиме резонанса и ток I, можно определить параметры катушки R_к и L.

Так как при резонансе , то активное сопротивление катушки

, (6)

а индуктивность .

Векторная диаграмма для последовательного соединения реальной катушки индуктивности и конденсатора в режиме резонанса представлена на рис.4.

II. Резонанс токов возникает при параллельном соединении катушки индуктивности и конденсатора (рис.5,а).

Согласно первому закону Кирхгофа для этой цепи

, или .

Для эквивалентной схемы (рис.5,б)

,

следовательно .

Действующее значение напряжения

.

Угол сдвига фаз между током и напряжением

, (7)

входная проводимость

. (8)

В режиме резонанса, по определению

, , (9)

входная проводимость имеет активный характер, . Векторная диаграмма напряжения и токов для схемы (рис.5,б) представлена на рис.6.

Практически при резонансе ток I_к в катушке больше, чем ток конденсатора I_C. Вызвано это тем, что активная проводимость конденсатора по сравнению с его реактивной проводимостью ничтожно мала, и ею можно пренебречь. В то же время пренебрегать активной проводимостью катушки нельзя. Зная ток катушки I_к и приложенное напряжение U можно определить

, .

Так как при резонансе , то

. (10)

Если в цепь включена катушка индуктивности, у которой , то резонанс наступит при , т.е. при частоте , и . При этом входное сопротивление будет стремиться к бесконечности, а входной ток – к нулю.

Для реальной катушки индуктивности и конденсатора при заданных L и C резонанс, см. (9), наступит при угловой частоте

. (11)

Из (11) следует, что резонанс может наступить только при .

При постоянстве приложенного напряжения резонанс токов может быть достигнут тремя способами:

1. изменением частоты f при неизменных L и C;

2. изменением индуктивности L катушки при неизменных f и C;

3. изменением емкости конденсатора C при неизменных f и L.

В лабораторной работе резонанс токов получают первым и вторым способами.

При заданных ω и C резонанс наступит при

. (12)

Это выражение для определения L_1,2 выводится из (9). Из (12) следует, что резонанс в такой цепи наступит при двух различных значениях индуктивности (L₁ и L₂). Графики зависимости b_L и φ от L при постоянной величине b_C приведены на рис.7.

Таким образом, двум значениям L₁ и L₂ при резонансах соответствуют два значения тока. Угол φ дважды меняет знак, и становится равным нулю при обоих резонансах.

Частотные и резонансные характеристики приведены на рис.7 – 9, где токи определены по формулам:

, , . (13)