2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение вида

v⁽ⁿ⁾ + p₁ v^(n-1) + p₂ v^(n-2) + … + p_n-1 v´ + p_n v = 0, (16)

где p₁, p₂, … , p_n – некоторые постоянные.

Решение (16) будем искать в виде v = e^λx. Получим

( λⁿ + p₁ λ ^n-1 + p₂ λ ^n-2 + … + p_n-1 λ + p_n) e^λx = 0,

или

P_n (λ) = λⁿ + p₁ λ ^n-1 + p₂ λ ^n-2 + … + p_n-1 λ + p_n = 0. (17)

Уравнение (17) называется характеристическим.

Рассмотрим различные случаи.

1. Если корни (17) действительны или различны, то

v₁ = , v₂ = , … , v_n =

– линейно независимые решения уравнения (16). Следовательно, общее решение уравнения (16) запишется в виде

v_общ = .

2. Если среди корней характеристического уравнения имеется пара комплексных корней λ₁ = h + iω,

λ₂ = h – iω, где i = , тогда им соответствуют два комплексных решения

= = (cos ωx + i sin ωx ), = = (cos ωx – i sin ωx ).

Из них можно составить два линейно независимых действительных решения:

v₁ = = cos ωx, v₂ = = sin ωx.

3. Если среди корней характеристического уравнения имеется корень λ = а кратности k > 1, тогда

v_s = x^s , s = 0, 1, … , k – 1, (18)

являются решениями уравнения (16). Причем, если s ≥ k, то такие функции не будут решениями. Очевидно, что (18) – линейно независимые решения.

4. Если а = h ± iω – комплексные корни кратности k, то по аналогии с п.2 получим линейно

независимые действительные решения:

x^s cos ωx, x^s sin ωx , s = 0, 1, … , k – 1.

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения:

1. y´´´ – 2у´´ – у´ + 2у = 0.

Р е ш е н и е. Сначала решаем характеристическое уравнение λ³ – 2λ² – λ + 2 = 0:

λ³ – 2λ² – λ + 2 = λ² (λ – 2) – (λ – 2) = (λ – 2) (λ² – 1) = (λ – 2) (λ – 1) (λ + 1) = 0 => λ ₁ = 2, λ ₂ = 1, λ ₃ = –1.

Тогда общее решение имеет вид:

у_общ = С₁е^2х + С₂е^х + С₃е^-х .

2. y´´´ – 4у´´ + 6у´ – 4у = 0.

Р е ш е н и е. Сначала решаем характеристическое уравнение λ³ – 4λ² + 6λ – 4 = 0:

λ³ – 4λ² + 6λ – 4 = λ³ – 4λ² + 4λ + 2λ – 4 = λ (λ² – 4λ + 4) + 2(λ – 2) = λ (λ – 2) ² + 2(λ – 2) = (λ – 2) (λ² – 2λ + 2) = 0 =>

• λ ₁ = 2, λ ₂ = 1 + i , λ ₃ = 1 – i.

Общее решение имеет вид:

у_общ = С₁е^2х + е^х (С₂ cos x + С₃ sin x).

3. y´´´´ + 4у´´´ + 8у´´ + 8у´ + 4у = 0.

Р е ш е н и е. Раскладываем характеристический многочлен на множители

λ ⁴ + 4λ³ + 8λ² + 8λ + 4 = (λ² + 2λ + 2) ² = 0 => λ ₁ = λ ₂ = –1 + i , λ ₃ = λ ₄ = –1 – i.

Следовательно, общее решение имеет вид:

у_общ = е^-x (С₁ cos x + С₂ х cos x + С₃ sin x + С₄ х sin x).

4. y´´ + у´ – 2у = 0.

5. y´´ – 2у´ + у = 0.

6. y´´ – 4у´ + 13у = 0.

7. y´´´ – 8у = 0.

8. y´´´´ – у = 0.

9. у⁽⁵⁾ – 6у⁽⁴⁾ + 9 y´´´ = 0.

10. y´´´´ – 2у´´ + у = 0.

11. y´´´´ – 5у´´ + 4у = 0.