Дифференциальные уравнения

1. Основные понятия и определения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение

F(x, y, y´, y´´, … , y⁽ⁿ⁾) = 0, (1)

которое связывает независимый аргумент х, неизвестную переменную у и ее производные y´, y´´, … , y⁽ⁿ⁾).

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение у′′′ – 3у′′ + 2у = 0 – обыкновенное диф.уравнение 3-го порядка,

уравнение х¹⁰⁰у′ + 5ху = у²⁵ – обыкновенное диф.уравнение 1-го порядка,

уравнение y ∙ z′_x = x ∙ z′_y – диф.уравнение в частных производных 1-го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция у = φ(х), которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой.

Для дифференциального уравнения n – го порядка , разрешенного относительно старшей производной

y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y´, y´´, … , y^(n-1)) (2)

задача Коши формулируется следующим образом: для заданных начальных условий

y₀ = y(x₀), y₀' = y’(x₀), … , y₀^(n-1) = y^(n-1) (x₀)

найти решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям.

Известен ряд теорем о существовании и единственности решения задачи Коши. Например, в случае уравнения первого порядка y' = f (x, y) для существовании и единственности решения задачи Коши требуется, чтобы в некоторой области D функция f (x, y) и ее частная производная были непрерывны. Тогда через каждую точку М₀(x₀, y₀) D проходит, и при том единственная, интегральная кривая.

Функция

у = ψ (х, С₁, С₂, … , С_n), (3)

где С₁, С₂, … , С_n – произвольные постоянные, называется общим решением уравнения (1), если выполняются следующие два условия:

1. для любых значений С₁, С₂, … , С_n функция (3) является решением дифференциального уравнения (1);

2. для любой точки М₀(x₀, y₀, y₀', y₀'', … , y₀^(n-1) (n+1)-мерного пространства существуют такие константы , , … , , при которых график решения (3) проходит через точку М₀, т.е.

Общее решение, записанное в неявном виде, называется общим интегралом. Если в общем решении (3) зафиксированы константы С₁, С₂, … , С_n , то (3) называется частным решением. Частное решение, представленное в неявном виде, называется частным интегралом. Решить дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение или общий интеграл.

Некоторые ДУ могут иметь такие решения, которые не получаются из общего ни при каких значениях произвольной постоянной. Эти решения не являются частными и поэтому называются особыми. Особые решения могут иметь только те уравнения, для которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения (теоремы Коши).

ЗАДАЧИ

1. Проверить, являются ли решением данных дифференциальных уравнений указанные функции:

   1. xy’ = 2y, y = 5x².

Р е ш е н и е. y’ = 10x => x·10x = 2·5x² => 10x² 10x² => является.

2. y’’ = x² + y² , y = (нет).

3. (x + y) dx + x dy = 0, y = (да).

1. Показать, что для данных дифференциальных уравнений указанные соотношения являются интегралами:

   1. (x – 2y) y’ = 2x – y, x² – xy + y² = C².

Р е ш е н и е. Продифференцируем левую и правую части общего интеграла: (x² – xy + y²)’ = (C²)’ =>

• 2x – y – xy’ + 2yy’ = 0. Отсюда получим исходное диф. уравнение (x – 2y) y’ = 2x – y.

2. (x – y + 1) y’ = 2x – y, у = x + Cе^у.

3. (x у – х) y’’ + x(y’)² + yy’ – 2y’ = 0, у = ln(xy).

3. Составить дифференциальные уравнения заданных семейств кривых (С, С₁, С₂ – произвольные постоянные):

   1. y = C₁e^2x + C₂e^-x.

Р е ш е н и е. Продифференцируем данную функцию 2 раза:

y’ = 2C₁e^2x – C₂e^-x, y’’ = 4C₁e^2x + C₂e^-x.

Исключив из этих уравнений коэффициенты C₁ и C₂, получим дифференциальное уравнение

y’’ – y’ – 2y = 0.

2. y = (C₁ + C₂x)e^x.

3. x² + y² = C².

4. Среди семейства кривых найти кривую, удовлетворяющую заданным начальным условиям:

1. y = (C₁ + C₂x)e^2x; у(0) = 1, у’(0) = 0.

Р е ш е н и е. Продифференцировав данную функцию

y’ = [2C₁ + C₂(2x + 1)] e^2x,

подставим начальные условия

1 = C₁, 0 = 2C₁ + C₂.

Отсюда y = (1 – 2x) e^2x.

2. y = C₁e^-x + C₂e^x + C₃e^2x ; у(0) = 0, у’(0) = 1, у’’(0) = –2.

2. x² – y² = C ; у(0) = 5.