Вопросы

1. Для каких целей служит программа подбора параметра в составе табличного процессора?

2. Какая ячейка называется целевой?

3. Какая ячейка называется влияющей или изменяемой?

4. Найдите ошибки в написании выражения для целевой ячейки: A12*И8/ПИ-EXP^2(q3)=5 .

5. Какой математический метод используется для подбора значения корня уравнения (неизвестного параметра)?

6. Сколько корней уравнений может находить программа подбора параметра?

7. Всегда ли процесс подбора завершается успешно? По какой причине?

8. Как вызвать программу подбора параметра?

9. Какие настройки есть у программы подбора параметра? Как их установить?

10. Что нужно заполнить в диалоговом окне перед запуском программы?

11. Как убедится в том, что программа нашла приближенный корень?

12. Что ограничивает применение программы подбора параметра для решения инженерных задач?

2.11. Программа поиска решения

Цель работы – освоение встроенной программы поиска решения нелинейных уравнений, линейных и нелинейных систем уравнений, а также задач оптимизации.

Основные сведения

Программа Поиск решения в составе табличного процессора Excel предназначена для решения уравнений, систем уравнений и задач оптимизации с различными видами граничных условий.

Прежде чем приступить к выполнению заданий, следует убедиться в наличии программы Поиск решения… в меню Сервис. При ее отсутствии выполнить команды Сервис→Надстройки…, и в появившемся окне Надстройки установить метку напротив соответствующей позиции.

Порядок решения уравнений, систем уравнений и оптимизационных задач включает несколько этапов:

1. Формализованная постановка задачи.

2. Создание модели вычислений на рабочем листе табличного процессора.

3. Дополнительная настройка программы.

4. Поиск решения с помощью программы в составе табличного процессора.

5. Анализ результатов.

Этап постановки задачи.

На этапе постановки определяют, какую математическую задачу необходимо решить (уравнение, систему уравнений, задачу оптимизации), какие переменные используются, какая зависимость существует для уравнений, неравенств и критериальной функции от выявленных переменных, какие есть ограничения (граничные условия) и как они зависят от входящих переменных. Результатом этого этапа является формализованная запись задачи на бумаге. При необходимости осуществляется предварительное преобразование задачи к требуемому виду.

Этап создания модели вычислений.

На этапе создания модели вычислений производят запись содержания задачи на листе табличного процессора. При этом необходимо:

1. Выбрать ячейки листа, где будут находиться найденные программой значения переменных (неизвестных). Эти ячейки называются изменяемыми, так как программа последовательно изменяет их значения в итерационном процессе до получения допустимого решения.

2. Записать формулу левой части одного из уравнений системы или целевой функции в отдельной ячейке. Эта ячейка называется целевой. При записи формулы необходимо использовать адреса выбранных ячеек с переменными.

3. Выражение в левой и правой частях для других уравнений в системе или каждого ограничения записать в виде формулы в отдельной ячейке листа. При записи формул использовать адреса выбранных ячеек с переменными.

Каждой ячейке, используемой в модели вычислений, желательно присвоить имя, или дать пояснения в соседних ячейках.

Этап настройки.

Перед запуском программы при необходимости можно указать особые, отличные от установленных по умолчанию, условия и варианты поиска решения. Для этого в Excel следует использовать диалоговое окно Параметры поиска решения, в которое можно зайти из окна Поиск решения, нажав кнопку Параметры.

В свою очередь это окно включает следующие диалоговые окна и переключатели.

Окно Максимальное время служит для ограничения времени в секундах на поиск решения. Наибольшее допустимое время равно 32767 секунд (более 9 часов). По умолчанию устанавливается 100 секунд, что обычно бывает достаточно.

Окно Число итераций также ограничивает время вычисления за счет ограничения числа шагов для достижения решения (числа итераций).

Окно Относительная погрешность служит для указания того, насколько найденное решение может отклоняться от установленного значения в целевой ячейке. Она задается в виде десятичной дроби в интервале между нулем и единицей.

Окно Допустимое отклонение служит для задания максимального допуска на отклонение для значения изменяемой ячейки, если множество значений ограничено целыми числами. Чем больше допуск, тем быстрее будет найдено решение.

Окно Сходимость также определяет условие прекращения поиска. Когда относительное изменение значения целевой функции за последние пять итераций становится меньше порога (числа, указанного в поле Сходимость), то поиск прекращается. Сходимость применяется только к нелинейным задачам, условием служит десятичная дробь от 0 до 1. Лучшая сходимость (с меньшим дробным числом) требует больше времени на поиск оптимального решения.

Метка Линейная модель предназначена для ускорения поиска, если решается задача линейной оптимизации.

Опция Показывать результаты итераций используется для приостановки поиска и просмотра результатов после каждой итерации.

Опция Автоматическое масштабирование необходима, если значения в изменяемых ячейках по величине сильно отличаются от выходных значений в целевой ячейке и в ограничениях.

Опция Значения не отрицательны используется, когда для влияющих ячеек не была установлена нулевая нижняя граница в поле Ограничения диалогового окна Добавить ограничение.

Переключатель Оценка служит для указания метода получения оценок значений переменных в каждом одномерном поиске (Линейная или Квадратичная). Квадратичная экстраполяция, используемая для получения оценок, более точна и обычно применяется в нелинейных задачах.

Переключатель Производные служит для указания метода численного дифференцирования — Прямые (используются в большинстве задач) или Центральные (используются, когда выдается сообщение о том, что получить более точное решение не удается).

Переключатель Метод служит для выбора алгоритма оптимизации - метод Ньютона (для задач небольшой размерности и для хорошо сходящихся задач) или сопряженных градиентов (для задач большой размерности и когда итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях).

Опция Загрузить модель позволяет задать ссылку на область ячеек, содержащих загружаемую модель.

Опция Сохранить модель позволяет задать ссылку на область ячеек, предназначенную для хранения модели оптимизации, если необходимо хранить на листе более одной модели оптимизации. Первая модель сохраняется автоматически.

Этап вычислений.

На этапе вычисления следует обратиться к программе, выбрав Поиск решения… в меню Сервис. В открывшемся окне Поиск решения произвести основные установки.

1. В окне Установить целевую ячейку указать адрес ячейки с введенной формулой для целевой функции или левой частью уравнения. Он появится автоматически, если перед вызовом программы нужная ячейка будет активизирована.

2. В меню Равно указать вариант оптимизации (максимизация, минимизация). Если ставится задача поиска решения, при котором целевая функция должна быть равна некоторому числу, то необходимо ввести это число в поле. Требование равенства целевой функции определенному числу означает решение уравнений и систем уравнений.

3. В окне Изменяя ячейки указать адреса выбранных ранее ячеек (или выделить соответствующие ячейки) для переменных (неизвестных) в целевой функции или в уравнении. При нажатой клавише Ctrl можно выделить несмежные ячейки. В этих ячейка будут изменяться значения переменных в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации. С помощью программы можно решать задачи, включающие до 200 переменных.

Для каждой изменяемой ячейки можно указать два ограничения.

Адреса в поле Изменяя ячейки могут появиться автоматически, если установить метку Предположить, и предварительно указать начальные значения переменных. Тогда программа самостоятельно находит все ячейки, влияющие на формулу, ссылка на которую дана в поле Установить целевую ячейку.

4. В поле Ограничения отобразить все граничные условия поставленной задачи. Для каждой переменной или для каждого выражения с этими переменными можно задать диапазон (верхнюю и/или нижнюю границы) допустимых значений.

Указать адреса ячеек с записанными в них формулами для ограничений. Для этого использовать кнопки Добавить, Изменить, Удалить для выбранных ограничений.

Для целевой ячейки также можно установить ограничения.

Для удобства можно выбрать ячейки по их именам из предлагаемого списка после нажатия клавиши F3. Предварительно нужно задать ячейкам имена.

Для присвоения имени ячейке или диапазону ячеек нужно их выделить, поместить курсор в поле имени и заменить представленный адрес нужным именем. Затем нажать клавишу Enter. Присвоенное имя будет отображено в поле имени.

5. Решить уравнение, систему уравнений или задачу оптимизацию, нажав кнопку Выполнить в окне поиска решения. Результаты появятся на листе с вычислительной моделью и в окне диалога Результаты поиска решения.

Этап анализ результатов.

Программа после отдельного запуска может найти только одно из возможных решений. Это являться существенным ограничением программы, требующим дополнительного анализа задачи и результатов, а в некоторых случаях и уточнения условий задачи.

В результате поиска в ячейках листа появятся значения, определяемые найденными переменными. Программа может найти такое решение, которое противоречит физическому смыслу задачи и потому не удовлетворяет специалиста. Она может вообще не найти никакого допустимого решения, или найти решение с недостаточной точностью. Каждый случай требует дополнительного анализа.

Если решение находится в неприемлемой области, противоречит физическому смыслу задачи, то следует провести дополнительное исследование задачи и ввести дополнительные граничные условия. После этого нужно повторить расчет. С этой проблемой иногда можно справиться, сразу задавая начальные значения переменных из ожидаемой области решений.

Если хотя бы одно из требований в результате поиска не удовлетворяется, то программа не смогла найти допустимое решение. В этом случае необходимо выбрать другие исходные данные для переменных, или увеличить число итераций, или изменить метод поиска. Если допустимое решение не достигнуто, то следует проанализировать инженерную задачу и по возможности ослабить ограничения.

Недостатком программы поиска является высокая чувствительность к начальным значениям неизвестных. Если начальные значения неизвестных выбраны неудачно, то решение может не быть найдено, хотя оно существует.

При выполнении программы Поиск решения следует анализировать выдаваемые программой сообщения. Если решение получено, то сведения о результатах появляются в окне Результаты поиска. Оно включает следующие опции.

Сохранить найденное решение. Служит для сохранения найденного решения во влияющих ячейках модели.

Восстановить исходные значения. Используется для восстановления исходных значений влияющих ячеек модели.

Отчеты. Служит для указания типа отчета, для которого создается отдельный лист рабочей книги.

Отчет Результаты включает целевую ячейку и список влияющих ячеек модели, их исходных и конечных значений, а также формулы ограничений и дополнительные сведений о наложенных ограничениях.

Отчет Устойчивость содержит сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле целевой ячейки или в формулах ограничений. Он не создается для моделей с целочисленными переменными. В случае нелинейных моделей отчет содержит данные для градиентов и множителей Лагранжа.

Отчет Ограничения (отчет по пределам) включает целевую ячейку и список влияющих ячеек модели, их значений, а также нижние и верхние границы для изменяемых ячеек. Такой отчет не создается для моделей, значения в которых ограничены множеством целых чисел. Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать влияющая ячейка, при этом значения остальных влияющих ячеек фиксированы и удовлетворяют наложенным ограничениям. Соответственно, верхним пределом называется наибольшее значение.

Опция Сохранить сценарий служит для сохранения сценария решения задачи для его использования с помощью диспетчера сценариев Excel.