Практическая работа №15

Тип ОР

№

Формулировка

Знания

17

Воспроизводит основные понятия комбинаторики.

18

Воспроизводит основные формулы теории вероятности и математической статистики

Умения

11

Применяет метод Маклорена для нахождения значений функции

Формируемые компетенции

Анализирует потребности в ресурсах и планирует ресурсы в соответствии с заданным способом решения задачи

Решить задачи:

1. Найдите n-й член ряда по его данным первым членам:

а) б) в)

2. Исследуйте сходимость ряда, используя признак Даламбера:

а) б)

3. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

а) б)

4. Разложить в ряд Маклорена функцию:

а) f(x)=3^x; б) f(x)=e^4x; в) f(x)=e^-2x;

5. Разложить в ряд Маклорена данную функцию и найти область сходимости полученного ряда: .

6. Выполнить разложение в ряд Маклорена функций:

Информационные материалы для выполнения задания практической работы

Числовые ряды

Ряды бывают: числовые, функциональные, степенные, конечные и бесконечные, знакопеременные.

Числовым рядом называется выражение вида a₁+a₂+a₃+…+a_n+…, где a_n -числа. Для сокращенного обозначения рядов используют знак

Пример.

Сумма первых n элементов ряда называется частичной суммой ряда .

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. , где S – сумма ряда. (если предел не существует или равен , то ряд расходится).

Пример. Определить сходимость ряда .

Докажем сходимость каждого ряда.

Теорема (Необходимый признак сходимости рядов)

Если ряд сходится, то его общий элемент стремится к нулю, т.е. .

Пример. ряд расходится.

Достаточный признак сходимости рядов:

Если р1, то данный ряд расходится, если р>1, то - сходится

Признак Даламбера сходимости рядов.

Пусть дан ряд Допустим, что , тогда

Если p<1, то ряд сходится.

Если p>1, то ряд расходится.

Пример.

ряд сходится.

Ряды Маклорена

Определение. Степенной ряд вида , называется рядом Маклорена.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

1. вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке х=0;

2. составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу;

3. найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле .

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию у=е^-х.

1. Найдем производные. Вычислим значения производных при х=0:

2. Подставим эти значения в формулу.

3. Найдем промежуток сходимости ряда:

т.е. -<x<.

Полученный ряд сходится при любых значениях х.