Практическая работа №13

Тип ОР

№

Формулировка

Знания

14

Определяет формулы интегрирования

Умения

10

Решает дифференциальные уравнения II порядка

Формируемые компетенции

Анализирует потребности в ресурсах и планирует ресурсы в соответствии с заданным способом решения задачи

Решить ДУ 2 порядка:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

7.  y'' + y = sin(2x).

8. y'' − 4y' + 5y = 0.

9. 

Информационные материалы для выполнения задания практической работы

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y" + py' +qy = 0, где p и q- постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y" + py' +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y" через r², y'  через r, y через 1:  r² + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант  D = p² -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня  . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде  , где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни  . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде 

в) D < 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет комплексные корни,   Общее решение дифференциального уравнения выражается, в виде 

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение 

 D>0,

Общее решение 

Дифференцируя общее решение, получим 

Составим систему из двух уравнений 

Подставим вместо  , и   заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением является функция

.

Пример 2. Найти частное решение уравнения

Решение

<0,

Общее решение 

- частное решение.

Решение линейных неоднородных ДУ 2 порядка.

Пример 3. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Решение:  1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:   ,   – получены различные действительные корни, среди которых нет нуля, поэтому общее решение:  .

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение  ?

Сначала смотрим на правую часть и выдвигаем первую гипотезу: раз в правой части находится экспонента, умноженная на константу  , то частное решение, по идее, нужно искать в виде 

Далее смотрим на корни характеристического уравнения  ,  , найденные в предыдущем пункте. Это два действительных корня, среди которых нет нуля. То есть, частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде: , где   – пока еще неизвестный коэффициент, который предстоит найти.

Найдем первую и вторую производную:

Подставим  ,   и   в левую часть неоднородного уравнения:

Что сделано? Подстановка, упрощение, сокращение, и в конце – приравнивание к исходной правой части  .

Здесь повезло: из последнего равенства   автоматически получаем  Найденное значение   подставляем в наш исходный подбор  .

Таким образом, частное решение: 

3) Составляем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение: 

Пример 4. Найти общее решение неоднородного уравнения

Решение:  1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Характеристическое уравнение:  – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение: .

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде:    Выясним, чему равны коэффициенты  .

Найдем производные:

Подставим   и   в левую часть неоднородного уравнения: (после подстановки и максимальных упрощений приписываем правую часть:  )

Из последнего равенства   составим и решим систему:

Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения почленно вычитаем первое уравнение. Таким образом, подобранное частное решение:  .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения: 

Ответ: общее решение: