4.2. Лабораторная работа № 8. Решение прикладной задачи с использованием нечетких множеств

Цель работы: освоение аппарата теории нечетких множеств на примере решения прикладной задачи.

Описание задачи и пример ее решения

А. Описание задачи

Вентилятор комнатного кондиционера управляется встроенным программно-аппаратным блоком, работающим на базе нечетких множеств.

Основу программной реализации составляют три экспертных правила, определяющие зависимость скорости вращения вентилятора V от температуры воздуха в помещении t.

1. ЕСЛИ t = «низкая», ТО V = «низкая».

2. ЕСЛИ t = «средняя», ТО V = «средняя».

3. ЕСЛИ t = «высокая», ТО V = «высокая».

Данные правила определяют две лингвистические переменные:

• температура воздуха в помещении t  {«низкая», «средняя», «высокая»};

• скорость вращения вентилятора V  {«низкая», «средняя», «высокая»}.

Для каждого качественного значения каждой лингвистической переменной экспертным путем определены нечеткие множества. При этом температура воздуха в комнате может варьироваться от 0 до 60 °С, а скорость вращения вентилятора – от 0 до 1000 об/мин (рис. 35).

Рис. 35. Нечеткие множества для лингвистических переменных t и V

Предположим, что датчик кондиционера определил температуру воздуха в помещении, равную 22 °C. Процедура определения скорости вращения вентилятора выглядит следующим образом.

Этап 1. В левых частях правил указаны три нечетких множества, заданных на интервале t. Определенные значения функции принадлежности: _{Tнизкая}(22) = 0, _{Tсредняя}(22) = 0,8 и _{Tвысокая}(22) = 0,2.

Этап 2. Полученные значения используются для модификации нечетких множеств правых частей методом «умножения» (рис. 36).

1 * 0,8 = 0 200 400 600 800 1000	0,8 0 200 400 600 800 1000
1 * 0,2 = 0 200 400 600 800 1000	0,2 0 200 400 600 800 1000

Рис. 36. Модификация нечетких множеств

Э

Рис. 37. Объединение модифи­ци­ро­ван­ных нечетких множеств

тап 3. Объединение (суперпозиция) модифицированных нечетких множеств (рис. 37).

Этап 4. Скалярное значение суперпозиции соответствует координате центра тяжести на базовой шкале. Для ее определения фигуру, указанную на рис. 37, необходимо разбить на элементарные треугольники и прямоугольники (рис. 38), определение центров тяжести которых не составляет труда.

0 200 400 600 800 1000

Рис. 38. Разбиение на элементарные фигуры

Геометрически центр тяжести треугольника находится на пересечении медиан, прямоугольника – диагоналей. Математически координаты центра тяжести этих фигур определяются по следующим формулам:

а) треугольника:

; ;

б) прямоугольника:

; ,

где x_i и y_i – координаты i-й вершины треугольника (прямоугольника).

 

Координаты третьей вершины треугольника F₂ можно определить, исходя из подобия треугольников.

.

Рис. 39. Схема для определения координат третьей вершины треугольника

Из соотношения получаем: а = 160 и b = 0,64. Таким образом, x₃ = 560 и y₃ = 0,16.

Координаты центров тяжести фигур:

; ;

; ;

; .

Центр тяжести суперпозиции определяется как средневзвешенная величина по формулам:

;

;

где S_Fi – площадь i-й фигуры.

 

Площади фигур:

;

;

.

Центр тяжести суперпозиции:

;

.

Таким образом, скорость вращения вентилятора при t = 22 °C должна быть V = X_цт = 534,2 об/мин.

Задание на выполнение работы

Выполнить расчеты скорости вращения вентилятора V в зависимости от температуры воздуха t для пяти итераций с использованием нечетких множеств.

А. Индивидуальный вариант начальной температуры (температуры для первой итерации):

, °С,

где  – номер варианта.

Б. Для оставшихся итераций температуру принять по формуле

, °С.

В. Отчет должен содержать:

• титульный лист;

• номер варианта;

• правила корректировки скорости вращения вентилятора;

• исходные графики (см. рис. 35);

• для каждой итерации:

• значение текущей температуры;

• графики для этой температуры (см. рис. 36);

• расчет площадей и координат X центров тяжести элементарных фигур, входящих в суперпозицию множеств (см. рис. 38);

• расчет координаты X центра тяжести суперпозиции множеств (определенная скорость вращения вентилятора);

• итоговый график изменения скорости вращения вентилятора в зависимости от температуры воздуха в помещении по результатам расчета пяти итераций V(t).

Контрольные вопросы

1. Дайте определения понятий «лингвистическая переменная» и «нечет­кое множество».

2. Перечислите основные операции над нечеткими множествами.

3. Перечислите требования, предъявляемые к заданию нечетких мно­жеств.

4. Опишите процедуру обработки нечетких множеств.

5. В чём заключается отличие нечеткой логики от традиционной?