2.2. Бесконечно малые величины. Связь переменной величины с ее пределом. Свойства бесконечно малых
Определение. Переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю.
В
частности, функция
есть бесконечно малая при
(или при
),
если
(соответственно,
).
Теорема. Число b есть предел переменной y тогда и только тогда, когда
(1) 
,
где – бесконечно малая.
Доказательство. 1. Необходимость.
Пусть
.
Пусть задано
.
Тогда для всех значений y,
начиная с некоторого, будет
.
Обозначим
.
Очевидно, для всех значений ,
начиная с некоторого, будет
,
следовательно, –
бесконечно малая. Итак,
,
где – бесконечно малая.
2.
Достаточность. Из равенства (1)
следует
.
Пусть задано
.
Так как – бесконечно
малая, то для всех значений ,
начиная с некоторого, будет
,
следовательно, для всех значений y,
начиная с некоторого, будет
.
А это значит, что
.
Теорема доказана.
Перечислим свойства бесконечно малых величин.
1.
Если – бесконечно
малая и не обращается в нуль, то
стремится к бесконечности.
Заметим, что переменная величина, стремящаяся к бесконечности, называется бесконечно большой. Поэтому сформулированное выше свойство можно переформулировать так: величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая величина.
2. Алгебраическая сумма двух (трех и вообще конечного числа) бесконечно малых величин есть бесконечно малая.
Иначе
говоря, если
,
где ,
– бесконечно малые, то и u
– бесконечно малая.
3. Произведение бесконечно малой величины на величину ограниченную есть величина бесконечно малая.
(Т.
е. если – бесконечно
малая, z – ограниченная,
то
есть бесконечно малая.)
Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая.
Следствие
2. Если –
бесконечно малая,
,
то
– бесконечно малая.
4.
Если – бесконечно
малая, а переменная величина z
имеет предел, отличный от нуля, то
есть величина бесконечно малая.
Следует заметить, что сформулированные свойства 1–4 являются, по существу, теоремами и в более подробном курсе математики излагаются с доказательствами. Здесь мы докажем одно из них, например свойство 3.
Пусть
– бесконечно
малая, z – ограниченная
величина,
.
Надо доказать, что
– бесконечно малая. Пусть задано
.
Возьмем
.
Так как –
бесконечно малая, то для всех значений
, начиная с некоторого,
будет
,
т.е.
.
Тогда
,
т.е.
.
Доказательство закончено.
2.3. Предел суммы, произведения, частного. Предельный переход в неравенствах
Мы будем рассматривать предел функций
,
при
или при
.
1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов:
.
(Вообще
.)
2. Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных:
.
(Вообще
.)
Следствие. Постоянный множитель
можно выносить за знак предела:
.
3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:
(если
).
Утверждения 1–3 также являются теоремами. Их доказательства основаны на теореме о связи переменной величины с ее пределом.
Приведем в качестве примера доказательство утверждения 2.
Пусть
,
.
Надо доказать, что
.
Имеем:
,
,
где
,
– бесконечно малые.
.
Обозначим
.
В соответствии со свойствами бесконечно
малых есть бесконечно
малая. Так как
,
где – бесконечно
малая, то
.
Доказательство закончено.
Можно доказать также следующие утверждения.
4.
Если переменная y
неотрицательна, то ее предел неотрицателен:
если
,
то
.
5.
Если для переменных u
и v выполняется
неравенство
,
то
.
6.
Если для переменных u,
z и v
выполняются неравенства
и при этом u и v
стремятся к одному пределу b
(
),
то переменная z
стремится к тому же пределу:
.
7.
Достаточный признак существования
предела: если переменная величина v
возрастает и ограничена, т.е.
,
то эта переменная величина имеет предел:
,
где
.
Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей ограниченной величины.