Лекция 2. Предел. Непрерывность функции

Здесь мы будем рассматривать упорядоченные переменные величины. Переменная x есть упорядоченная переменная, если известна ее область изменения и для любых двух ее значений известно, какое из них есть предыдущее и какое – последующее.

Определение 1. Число a называется пределом переменной величины x, если для любого (произвольно малого) числа существует такое значение переменной x, что для всех последующих значений выполняется неравенство

.

Если a есть предел переменной x, то говорят, что x стремится к пределу a, и пишут

, или .

Пример 1. Переменная величина x принимает следующие значения:

, , , ..., , ...

Легко убедиться, что эта переменная величина стремится к единице. Действительно,

.

Пусть задано . Тогда для всех номеров n, удовлетворяющих условию , будет выполняться неравенство , т.е.

.

В рассмотренном примере переменная величина стремится к пределу, убывая.

Пример 2. Переменная величина x последовательно принимает значения

, , , ..., , ...

Эта переменная имеет предел, равный 2. При этом переменная стремится к своему пределу, возрастая.

Пример 3. , , , , ..., , ...

Эта переменная стремится к единице, «колеблясь» вокруг своего предела, т.е. принимая значения то больше, то меньше своего предела.

Замечание 1. Постоянную величину c можно рассматривать как переменную, все значения которой одинаковы.

Замечание 2. Не всякая переменная величина имеет предел.

Замечание 3. Можно доказать, что переменная величина не может иметь двух разных пределов.

Определение 2. Переменная x стремится к бесконечности, если для любого существует такое значение x, начиная с которого все последующие значения переменной удовлетворяют неравенству

. (1)

В этом случае пишем .

Если в нашем определении неравенство (1) эквивалентно неравенству , то говорим, что x «стремится к плюс бесконечности», и пишем ; если же неравенство (1) эквивалентно неравенству , то говорим, что x «стремится к минус бесконечности», и пишем .

2.1. Предел функции

Функция представляет собой переменную величину, и поэтому к ней применимо понятия предела, следует лишь указать предел, к которому стремится ее аргумент.

Сформулируем строгое определение предела функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, кроме, может быть, точки a.

Определение 1. Число b называется пределом функции при x, стремящемся к a, если для любого (сколь угодно малого) числа существует такое , что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству

,

выполняется неравенство

.

Если b есть предел при , то пишут

,

или при .

Дадим геометрическую иллюстрацию определения предела:

для всех точек точки графика функции лежат внутри полосы, ограниченной прямыми и (рис. 11).

Рис. 11

Замечание. Если при и при этом , то говорим, что стремится к b слева, и пишем . Аналогично определяется предел справа: , если стремится к b, когда x стремится к a, оставаясь больше a. В частности, если стремится к b при справа (соответственно слева), то пишем (соответственно ).

Данное выше определение предела относилось к случаю, когда x стремится к конечному пределу а. Рассмотрим теперь случай .

Определение 2. Число b есть предел функции при , если для любого (сколь угодно малого) числа существует такое , что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

.

В этом случае пишем .

Если переменная величина является последовательностью, т.е. все ее значения можно занумеровать натуральными числами

, , ..., , ...,

то ее можно рассматривать как функцию натурального аргумента:

, .

Определение 2 можно рассматривать, в частности, и как определение предела последовательности (если считать, что аргумент x принимает лишь целые положительные значения).