Лекция 1.Число. Переменная. Функция

1.1. Действительные числа. Числовая прямая

Напомним основные понятия, связанные с понятием действительного числа.

Натуральные числа – это целые положительные числа.

N – множество всех натуральных чисел:

N = {1, 2, 3, ...}.

Z – множество всех целых чисел:

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}.

Рациональными числами называются числа вида , где m – целое, n – натуральное.

Q – множество всех рациональных чисел: , если , . Очевидно, что N  Z  Q.

Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Таковы, например, , , число . Обычно множество всех иррациональных чисел обозначают через I. Очевидно, множества I и Q не имеют общих элементов.

Множество Q всех рациональных чисел и множество I всех иррациональных чисел образуют множество R всех действительных чисел:

R = Q  I.

Геометрически множество всех действительных чисел изображается в виде числовой прямой (или числовой оси). Числовая прямая – это прямая, на которой выбраны: начало отсчета, положительное направление и масштаб (единичный отрезок).

Между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е.

Каждому действительному числу соответствует одна определенная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой – одно определенное число. Поэтому понятия «число x» и «точка x» равнозначны.

Перечислим простейшие числовые множества на прямой. Пусть a и b – два числа, причем .

Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству , называется отрезком или сегментом [a, b].

Множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству , называется интервалом (a, b).

Полуинтервалы [a, b) и (a, b] определяются как множества чисел, удовлетворяющих соответственно неравенствам и .

Аналогично определяются бесконечные интервалы и полуинтервалы , , , . При этом вся числовая прямая есть .

В дальнейшем для всех перечисленных множеств мы будем также применять общий термин «промежуток».

1.2. Модуль действительного числа

Модулем, или абсолютной величиной действительного числа x называется само число x, если x неотрицательно, и противоположное число, т.е. –x, если x отрицательно:

Очевидно, по определению, .

Известны следующие свойства абсолютных величин:

.

Модуль разности двух чисел есть расстояние между точками x и a на числовой прямой (при любых x и a).

Из этого следует, что, в частности, решениями неравенства (где ) являются все точки x интервала , т.е. числа, удовлетворяющие неравенству .

Такой интервал называется -окрестностью точки . Заметим, что вообще окрестностью точки a называется всякий интервал, содержащий точку a.

1.3. Функция. Основные свойства функций

В математике все величины делят на постоянные и переменные.

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Областью изменения переменной величины называется совокупность всех значений этой переменной величины.

Часто областью изменения переменной величины является промежуток (открытый или замкнутый, конечный или бесконечный).

Основным математическим понятием, выражающим идею взаимной связи переменных величин, является понятие функции.

Пусть X и Y – некоторые числовые множества.

Определение. Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция .

При этом x называется независимой переменной (или аргументом), y – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия. Множество X называется областью определения (или областью существования) функции, множество Y – областью изменения (областью значений функции).

Если множество X специально не задано, то областью определения функции считается множество всех значений x, при которых функция вообще имеет смысл.

Например, область определения функции есть полуинтервал (1; 3], так как эта функция имеет смысл при одновременном выполнении условий x – 1 > 0 и 3 – x  0.