21

Лабораторная работа №3 Определение характеристик движения исз (Искусственных Спутников Земли)

Цель работы:

Научиться определять характеристики движения ИСЗ в зависимости от начальных условий: стартовой высоты и стартовой скорости.

Оборудование:

Методическое руководство к выполнению данной работы (на компьютере), компьютер или калькулятор.

Отводимое время:

На выполнение работы отводится восемь учебных часов. Первые шесть часов – изучение особенностей решения основных типов задач по движению ИСЗ. Следующие два часа – выполнение контрольного задания, которое выдаст преподаватель. Те из студентов, которые справятся с работой быстрее, могут с разрешения преподавателя быть свободными. К концу восьмого часа все сдают тетради для практических занятий для проверки результата, не зависимо от того, закончена работа или нет. При выполнении контрольного задания разрешено пользоваться своей тетрадью для практических занятий.

Требования к оформлению работы:

В тетради для самостоятельных и практических занятий по астрономии должен быть подробно представлен весь ход решения пробной и зачётной задач, включая черновые записи и исправления.

Результат работы:

Правильное решение контрольной задачи.

Точность расчетов:

При определении расстояний – не хуже 1 км., времени – 1 мин., скорости – 100 м/сек., углов – 1 градуса.

Запрещается:

При проведении вычислений запрещается пользоваться готовыми программами.

Основные понятия, связанные с движением исз.

Р исунок 1 иллюстрирует основные термины небесной механики, связанные с движением ИСЗ. Жирная голубая окружность – это сечение Земли плоскостью орбиты ИСЗ. Тонкая красная линия – это эллиптическая орбита спутника. Точка m - положение ИСЗ на орбите в некоторый произвольный момент. На траектории отмечены ещё две точки. П – это наиболее близкая к Земле точка орбиты ИСЗ. Она называется перигей. Противоположная точка орбиты – А – апогей. Это наиболее удалённая от Земли точка орбиты. В случае движения какого-либо тела по орбите вокруг Солнца аналогичные точки будут называться перигелий и афелий (Гелиос – Солнце). Часто безотносительно названия центрального тела такие точки называют перицентр и апоцентр. Расстояния от центра Земли до этих точек называются перигейным и апогейным расстояниями. Обычно они обозначаются буквами q и Q. На нашем рисунке q = ОП, Q = ОА. Форму и размеры орбитального эллипса определяют два число: a - большая полуось и е – эксцентриситет. На нашем рисунке

а = 0.5АП. Отрезок АП – большая ось эллипса – часто в астрономической литературе называется линией апсид. Можно показать, что:

q = R + H_q= a×(1-е); (1)

Q = R + H_Q = а×(1+е); (2)

а = 0.5×(q + Q) = R + (H_q + H_Q )/2 (3)

Здесь:

R - радиус Земли,

Hq = Hст - высота точки перигея, она же в нашем случае стартовая высота;

H_Q = H_пр – высота противоположной точки орбиты или высота точки апогея.

Скопируйте этот рисунок со всеми обозначениями и формулами в тетрадь. Это Вам пригодится при решениях задач. Это касается и всех других понятий и соотношений. Копируя уравнения, обязательно ставьте номера, под которыми они в методичке. Тогда Вам не придётся «гонять» текст методички по экрану, выискивая соотношение, на которое ссылается текст.

Положение спутника m на орбите (см. рис.1) задаётся двумя координатами. Первая из них называется истинная аномалия - θ. Это угол между направлениями на перигей орбиты и на спутник. Он всегда отсчитывается от направления на перигей в сторону движения ИСЗ. В нашем случае это угол ПОm. Вторая координата - r – радиус-вектор - расстояние от центра Земли до спутника. На нашем рисунке это отрезок Оm.

Немного теории.

Теоретической основой решения всех задач, связанных с движением ИСЗ (так же как и АМС) являются решения задачи двух тел. Это задача определения законов движения каждого из тел системы при условии, что единственная сила, которая действует на эти тела – это сила взаимного притяжения. Обычно полагается, что поле тяготения Земли сферически симметричное, т.е. полагается, что величина ускорения свободного падения зависит только от расстояния от центра Земли. Кроме того, так как масса ИСЗ много меньше массы Земли, его можно рассматривать как материальную точку. Речь идёт, фактически, об ограниченной задаче двух тел. В астрономии такую задачу часто называют Кеплеровой задачей. Она изучает движение материальной точки относительно центрального тела.

Известно, что решениями задачи двух тел являются три независимых уравнения, которые позволяют определить не только форму и размеры орбиты ИСЗ в выбранной системе координат, но и положение ИСЗ в любой момент времени. Эти уравнения называются: интеграл движения, интеграл площадей и интеграл энергии. Такие «странные» их названия определяются тем, что они выводятся путем интегрирования основных уравнений механики. Здесь нам важно понимать смысл этих уравнений.

Смысл интеграла движения очень прост. Интеграл движения - это уравнение траектории движения. Показано, что в общем случае это уравнение кривой второго порядка. Таким образом, в зависимости от начальных условий траектория движения может быть эллипсом (частные случаи - окружность или прямая), параболой или гиперболой. В нашем случае под начальными условиями мы будем понимать высоту точки старта, величину и направление стартовой скорости.

Форма записи интеграла движения будет различной в зависимости от выбранной системы координат, в которой решается задача. Мы будем рассматривать движения ИСЗ в полярной системе координат. В этом случае связь между полярными координатами ИСЗ (радиус-вектор и истинная аномалия) описывается соотношением:

(4)

Здесь:

r – радиус-вектор ИСЗ – расстояние от центра Земли до спутника.

а – большая полуось его орбиты;

е – эксцентриситет орбиты;

Θ – истинная аномалия спутника.

Смысл второго интеграла – интеграла площадей достаточно прост. Он говорит» о том, как именно двигается спутник по орбите. А именно, его радиус вектор за любые равные промежутки времени описывает равновеликие площади.

r²×

Здесь:

Vсек - секториальная скорость – показывает на сколько за единицу времени возрастает площадь, описываемая радиусом вектором. Для заданной орбиты эта величина постоянная.

а – большая полуось орбитального эллипса;

b – малая полуось орбитального эллипса.

T - период обращения спутника вокруг Земли.

В нашей работе этим соотношением пользоваться не придётся.

Интеграл площадей, как может быть показано, является следствием одного из законов сохранения – закона о постоянстве момента импульса вращающегося тела – в нашем случае ИСЗ. Из него могут быть получены выражения для расчёта перигейной и апогейной скоростей:

(5)

(6)

Смысл третьего интеграла – интеграла энергии – состоит в том, что это выражение отражает факт постоянства полной механической энергии системы двух тел, т.е. что сумма кинетической и потенциальной энергии ИСЗ в любой точке его орбиты величина постоянная.

W_К + W_п = Const

Здесь:

m – масса ИСЗ;

V – скорость ИСЗ в какой-то точке орбиты;

H – высота ИСЗ над поверхностью Земли в этой точке;

М – масса Земли;

R – радиус Земли.

Умножим обе части на 2 и разделим на m:

В курсе теоретической механики показано, что значение константы определяется величиной большой полуоси орбиты и массой центрального тела, а именно:

Подставив это выражение для С, после незначительных преобразований , получим выражение для интеграла энергии в удобном для решения наших задач виде.

(7)

где:

r = R+H – радиус- вектор ИСЗ в какой-то точке.

V – скорость ИСЗ в этой точке.

Именно это соотношение позволяет (при известных массе Земли и большой полуоси орбиты) определить либо скорость ИСЗ в любой точке с известным радиусом вектором, либо решить обратную задачу, т.е. определить, на какой высоте спутник двигается с определённой скоростью.

Пусть на какой-то определённой - H -высоте будущему ИСЗ сообщаются различные по величине стартовые скорости - V , причём направление этой скорости параллельно поверхности Земли.

Рассмотрим несколько абстрактных ситуаций.

1. Стартовая скорость равна нулю: V_ст.= 0 км/с. Понятно, что в этом случае «спутник» просто упадет на Землю. Траектория его «полёта» будет отрезком прямой линии. Поставим мысленный эксперимент. Пусть на наш ИСЗ не действуют никакие другие силы кроме силы притяжения со стороны Земли (ни сопротивление атмосферы, ни центробежные силы, связанные с вращением Земли и т.д.). Это во-первых. Во вторых, пусть наш «спутник» может двигаться сквозь вещество Земли не испытывая ни малейшего сопротивления. И пусть вся масса Земли состредоточена в её центре. Спрашивается, как он будет двигаться дальше? Если задать такой вопрос школьникам, то довольно часто находятся способные учащиеся, которые понимают, что такой «ИСЗ», пролетев сквозь земной шар, поднимется над поверхностью Земли в противоположной точке на высоту, равную стартовой, остановится, а затем начнёт обратное движение до точки старта. Оказавшись в ней, он будет иметь снова нулевую скорость и снова начнёт падать на Землю. Такие колебания будут продолжаться сколь угодно долго. Понятно, что это совершенно абстрактная картина, но её понимание помогает существенно углубить понимание школьниками основных закономерностей движений свободно падающих тел.

2. Пусть начальная стартовая скорость V несколько больше нуля. Например, мы бросили горизонтально небольшой камень. Понятно, что он упадет на Землю на каком-то расстоянии от бросающего (от точки старта). По какой траектории он будет двигаться? В школьном курсе физики такая ситуация рассматривается и ученикам объясняется, что траектория такого свободно падающего тела - парабола. Такой ответ методически оправдан и понятен учащимся.

На небольших расстояниях поле тяготения Земли можно считать плоским. На самом деле поле тяготения Земли сферически симметричное (в первом приближении). Но в некоторых случаях, при работе с учащимися, изучающими физику углублённо, полезно сообщить, что такое утверждение, вообще говоря, это не совсем точно. Ученикам полезно понимать, что если кинетическая энергия брошенного тела меньше потенциальной энергии связи между данными телами – траектория такого тела обязательно будет замкнутой кривой или отрезком такой линии (в данном случае отрезком эллипса). Кинетической энергии такого тела просто недостаточно, чтобы вырваться из поля тяготения Земли.

Наш мысленный эксперимент можно продолжить. Если бы снова дать нашему камню свободно двигаться сквозь вещество Земли и так же считать, что на него не действуют никакие силы кроме силы притяжения, то наш камень обязательно вернётся в точку старта с той же скоростью, с которой мы его бросили и будет вращаться по такой абстрактной орбите сколь угодно долго.

3. По мере увеличения стартовой скорости нашего тела оно будет падать все дальше и дальше, пока не начнёт двигаться вокруг Земли по круговой орбите как её искусственный спутник. Такую скорость часто называют первой космической скоростью – V_1к . Это не совсем так.

Определения первой космической скорости в курсах физики и астрономии существенно отличаются. В школьном курсе физики первой космической скоростью называется такая скорость, которую нужно сообщить ИСЗ на небольшой высоте, чтобы он начал двигаться по круговой орбите. Такое определение не является строгим из-за неопределенности термина «небольшая высота», но оно понятно школьникам, отражает реальную ситуацию и методически вполне оправдано. К тому же часто путают понятия круговой с первой космической скоростей.

В школьном курсе физики формула для определения величины первой космической скорости вводится готовой. Однако в некоторых случаях учитель сможет вывести её вместе с учащимися. Для этого необходимо понимать, что центростремительное ускорение ИСЗ, вращающегося по круговой орбите на какой то высоте, это не что иное, как ускорение свободного падения на этой высоте. Тогда:

α_{ц =} (8)

где:

α_ц - центростремительное ускорение ИСЗ, двигающегося по круговой орбите;

V_кр – круговая скорость ИСЗ;

H – высота круговой орбиты.

С другой стороны, ускорение, которое приобретает ИСЗ под действием силы притяжения со стороны Земли ( это и есть центростремительное ускорение), можно рассчитать из второго закона механики:

(9)

где:

g _{- ускорение свободного падения на высоте H;}

G – постоянная тяготения.

Приравнивая правые части уравнений (8) и (9), можно получить выражение для круговой скорости на какой либо высоте:

(10)

Здесь: - круговая скорость на высоте H.

В курсе астрономии понятие «первая космическая скорость» водится через более общее понятие –«круговая скорость».

При работе с учащимися, изучающими физику углублённо целесообразно привести строгое определение первой космической скорости, а именно: Первая космическая скорость – это круговая скорость для нулевой высоты. Конечно, при этом школьникам необходимо пояснить, что такое определение является совершенно абстрактным, не реализуемым в действительности. Но понимание такого определения, как мы увидим позже, позволит строго вводить и другие понятия, связанные с космическими скоростями. Таким образом:

(11)

Если в полученное соотношение подставить значение среднего радиуса Земли и принятое значение гравитационной константы мы получим:

_{= 7,91 км/c}

Полезно знать также, что в астрономических расчетах часто не вводят отдельно массу Земли и гравитационную константу. Эти две величины во всех соотношениях небесной механики «ходят рядом». Поэтому используют величину K_з , равную произведения гравитационной постоянной на массу Земли , и которую называют гравитационным параметром Земли. Это оправдывается ещё тем фактом, (и это один из парадоксов небесной механики) что гравитационный параметр Земли (как и других тел) известен с более высокой точностью, чем каждый из сомножителей отдельно.

К = G·M = 3,989·10¹⁴ ≈ 4·10¹⁴

Тогда:

_{= 7,91 км/c}

Почему-то очень часто и студенты и школьники думают, что первая космическая скорость, это минимальная скорость, которую нужно сообщить ИСЗ, чтобы вывести его на орбиту и что если ракета не в состоянии сообщить такой скорости, вывести спутник на орбиту не получится. Конечно, это не так. Эта скорость будет тем меньше, чем больше высота, на которой вращается ИСЗ. Например, при выводе на орбиту геостационарного (высота около 36000 км.) спутника ему нужно сообщить скорость всего около 3,3 км\с.