4.3 Простая и сложная ставки ссудного процента
Начисление простых процентов при декурсивном способе производится по формуле
или
,
(4.7)
где n – продолжительность периода начисления в годах; t – продолжительность периода начисления процентов в днях; (1+n×i) – множитель наращения простых процентов. Он показывает, во сколько раз вырос первоначальный капитал; K – продолжительность года в днях (временная база для расчета процентов).
Если К = 360 дней, то рассчитывают обыкновенный (коммерческий) процент, если К = 365 или 366 дней, то говорят о точном расчете процентов. В свою очередь подсчет продолжительности периода начисления процентов (длительности ссуды) может быть приближенным или точным. Наиболее часто встречающиеся комбинации:
точный расчет процентов с точной длительностью ссуды;
коммерческие проценты с точным числом дней ссуды;
обыкновенные проценты с приближенной длительностью ссуды.
Ставки процентов могут быть плавающие (переменные). В этом случае в каждом интервале начисления или в каждой группе интервалов начисление процентов производится по разным ставкам. Для банков – это способ минимизации рисков. Общая формула расчета будет иметь следующий вид:
,
(4.8)
где R – общее число периодов, в течение которых проценты начисляются по неизменной ставке.
Простая процентная ставка i используется при математическом дисконтировании. Расчеты выполняются по формуле
.
(4.9)
Выражение
называется дисконтным множителем
математического дисконтирования по
простым процентам.
Начисление сложных процентов при декурсивном способе:
(4.10)
Простые ставки ссудных процентов обычно применяются в краткосрочных финансовых операциях (до года).
Быстрый способ решения задач по удвоению капитала со сложными процентами получил название «Правило 72»: если 72 разделить на количество лет, в течение которых деньги будут находиться на депозите, то получится приблизительное значение процентной ставки ic, которое требуется для того, чтобы сбережения удвоились. Полученный ответ не является точным, но позволяет получить результаты, достаточно близкие к точным значениям.
Если срок кредита в годах n не является целым числом, то расчет ведется по формуле 4.11.
(4.11)
Наиболее щепетильные кредиторы, принимая во внимание большую эффективность простых процентов на коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисления процентов в случае, когда срок операции (ссуды) не равен целому числу лет: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке. Смешанный порядок начисления процентов:
,
(4.12)
где a – число полных лет в составе продолжительности операции; t – число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год; K – временная база.
Если
будет различной на разных интервалах
начисления, то
.
(4.13)
Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года, так как база начисления увеличивается после каждого интервала начисления. В связи с этим принято различать номинальную и эффективную годовые процентные ставки при начислении сложных процентов.
Номинальной (или объявленной) называется годовая сложная процентная ставка, указываемая применительно к периоду в один год и не корректируемая в соответствии с частотой начисления процентов. Эффективная годовая процентная ставка – фактическая процентная ставка, используемая после внесения в номинальную ставку поправки на такой фактор, как количество интервалов начисления процентов за год. Если проценты начисляются несколько раз в год, эффективная процентная ставка оказывается выше, чем номинальная.
Пример 3.1. Определить эффективную процентную ставку при начислении сложных процентов по 4 % ставке ежеквартально.
Решение:
Номинальная годовая ставка составляет: j = 4×4 = 16 % годовых.
При начислении по номинальной ставке процентов коэффициент наращения за год составит:
При начислении 4 раза в год по ставке 4 % ежеквартально коэффициент наращения за год
Следовательно,
эффективная годовая ставка сложных
процентов составит
=16,99
%.
Начисление сложных процентов при начислении их m раз в год ведется по формуле
,
(4.14)
где j – номинальная ставка ссудного процента при начислении m раз в году.
Для расчета эффективной годовой процентной ставки можно воспользоваться формулой 4.15
(4.15)
Воспользуемся данными примера 4.1 для расчета эффективной процентной ставки
По мере увеличения частоты начислений в год разница между величиной номинальной и эффективной ставки будет возрастать.