Локальная и интегральная предельные теоремы

Рассмотрим пример, относящийся к независимым испытаниям, не доводя до конца вычисление искомых вероятностей.

Пример. По каналу связи передано сообщение, состоящее из 1000 нулей и единиц. Вероятности передачи как единицы, так и нуля одинаковы и равны 0,5. Найти вероятность того, что из 1000 переданных двоичных цифр число нулей окажется: а) ровно 500; б) не более 550.

Решение. В примере , , , и поэтому:

а) число нулей окажется равным 500:

; (3.3)

б) вероятность того, что число нулей окажется не более 550, равна сумме вероятностей, что число нулей окажется равным 0, 1, 2, …, 550, т. е.

. (3.4)

Пример показывает, что непосредственное вычисление вероятностей по формулам (3.3) и (3.4) весьма трудоемко, и возникает задача нахождения простых приближенных формул для вычислений вероятностей и при больших .

Исследуем поведение вероятностей при постоянном в зависимости от . Для получаем

. (3.5)

Из выражения (3.5) следует, что:

, если , т. е. ;

, если ;

, если .

Видим, что с ростом вероятность сначала возрастает, затем достигает максимума и наконец убывает. При этом если величина является целым числом, то максимального значения вероятность достигает при двух значениях : и . Если же не является целым, то максимального значения вероятность достигает при , равном наименьшему целому числу, большему, чем .

Если , то

.

При

.

Оказалось, что при больших почти все вероятности очень малы. И только для близких к вероятнейшему значению вероятности сколько-нибудь заметно отличаются от нуля. Такое поведение вероятности при больших и лежит в основе локальной и интегральной теорем Муавра – Лапласа.

Впервые асимптотическую формулу, облегчающую вычисление при больших , нашел Муавр в 1730 г. для частного случая при , а затем обобщил Лаплас для произвольного , отличного от 0 и 1.

Вводится обозначение

,

т. е. величина x зависит как от и , так и от .

Локальная теорема Муавра – Лапласа (без доказательства). Если вероятность наступления некоторого события А в независимых испытаниях постоянна и равна , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно раз, удовлетворяет соотношению

. (3.6)

Теперь решим задачу а) рассматриваемого примера, используя соотношение (3.6). Нужно найти при , и .

По формуле (3.6) имеем

.

Для нашего примера получаем и соответственно

.

Функция табулирована (см. прил. 1). Так как значение , то окончательно получаем

.

Точные подсчеты по формуле Бернулли (3.1) дают

.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа (без доказательства). Если есть число наступлений события А в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна , причем , то равномерно относительно и имеет место соотношение

. (3.7)

Решение задачи б) при использовании формулы (3.7) требует умения вычислять значение интеграла Лапласа

(3.8)

при любых значениях . Так как интеграл (3.8) при через элементарные функции не выражается, то для вычислений интеграла Лапласа требуются специальные таблицы (прил. 2).

Интеграл

вычисляем через значения функции , причем в приложении 2 приведены значения только для положительных , так как интеграл Лапласа является нечетной функцией, для которой выполняется условие, что (см. рис. 3.1).

Теперь решим задачу б) рассматриваемого примера, используя соотношение (3.7).

После подстановки значений получаем

Значение , так как уже величина (прил. 2).

Типичная задача, приводящая к интегральной теореме Муавра – Лапласа. Проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна . Чему равна вероятность того, что частота наступления события А отклонится от вероятности не более чем на ?

Решение. Искомая вероятность равна

Естественно, что в задачах, относящихся к определению вероятностей при конечных и асимптотическими формулами Муавра – Лапласа, требуется производить оценку совершаемой при этом ошибки. В течение очень долгого времени теоремы Муавра – Лапласа применялись к решению подобного рода задач без сколько-нибудь удовлетворительной оценки остаточного члена. Создалась чисто эмпирическая уверенность, что при порядка нескольких сотен или еще больше и , не слишком близких к 0 и 1, использование теорем Муавра – Лапласа приводит к удовлетворительным результатам. В настоящее время существуют достаточно хорошие оценки погрешностей, совершаемых при употреблении асимптотических формул Муавра – Лапласа.