Отчеты по практическим работам / Практическая работа №9

Постановка задачи

( ) = 12 −2 2

+ 32

→

Найти решение для следующей задачи:

= 1

1 + 3

2

2 1 + 2

− 3 ≤

1

≥ 0

1.

Определение типа задачи.

Ход работы

Задачаявляетсязадачейвыпуклогопрограммирования,таккакподостаточному

′′

( )

= ( 1 −2 2

+ 3)

′′

= (2 1 −2 + 2 3)

′

= 2 + 2 = >

условию

2

2

Функция выпуклая (выпукла вниз) на всем промежутке.

Ограничения задачи линейны, поэтому условие Слейтера не проверяем.

2.

Преобразование исходных данных.

3 = 1 − 1

И получаем упрощенную 1 + 3 = 1

Из ограничения, представленного равенством, производим замену

( ) = 12

−2 2

+ (1 − 1)2 →

систему:

3 1 + 2 ≤ 3

1

≥ 0

Формальная постановка

3 = 1 − 1

3.

= { : 1

≥ 0, 3},

задачи.

,

( ) = 12

−2,

2

+ (1 − 1)2

→

3 1 + 2 ≤ 3,

3 = 1 − 1

( , ) = 12

−2 2

+ (1 −

1)2

+ 1(3 1 + 2

−3) − 2 1

4.

Составление функции Лагранжа.

0, 2

≥ 0,

Поиск стационарных

, 1

≥

′1

= 3 1

− 2

2

5.

+ 4 1 −2 = 0

точек.

′2

= 1

−2 = 0

3 1

+ 2

−3 ≤ 0

1(3 1

+ 1 2

−3) = 0

−

≤ 0

− 2 1

= 0

1

≥20, 2 ≥ 0

переменным

1 ≥ 0, 2 ≥ 0

были добавлены,

так как соответствующие этим

Ограничения

Решение

3 1 + 2

≤ 3, − 1

≤ 0

ограничения были представлены в виде неравенств, а не в виде

Найдена одна точка:{ 1 = 0, . 2

= 3, 3

= 1 − 1

= 1, 1

= 2, 2 =

4}

уравнений:

(0, 3, 1)

.

системы:

(

0, )

≤ ( 0, 0)

≤ ( , 0)

.

1: ,

Проверяем эту точку на 2 условия:

,

≥ 0,

= 1 …

0 — найденные

2:

(

0

) = 0, 0

= 1 …

В

0

0 = (0, 3, 1),

0 = (2, 4). Подставляя значения, получаем:

Где

координаты точки,

— найденные коэффициенты точки.

−5 ≤ −5 ≤ 12

−

2 2 +

(12

− 1)2

+

2(3 1

+ 2 − 3) −4 1

нашем случае

,

,

≥ 0,

= 1 …

0

1( 0) = 1(3 1

+ 2 −3)

=

2(0 + 3 −3) = 0

В первом условии

2

(

0

) = −2 1

= −4 0 = 0

что −5 ≤ −5 ≤ 12 −

0

+ 2 −3) −4 1:

2 2 + (1 − 1)2 + 2(3 1

получаем следующий график, который отображает тот факт,

GNU Octave

Wolfram Mathematica

clc; close all; clear all;

function y=f(x)

y = (x(1))^2 - 2 * x(2) + (x(3)) ^ 2;

endfunction

function r = g(x)

Minimize[{x1^2 - 2 x2 + x3^2, x1 + x3 ==

r=[x(1)+x(3)-1;

1 && 2 x1 + x2 - x3 <= 2 && x1 >= 0},{x1,

-x(1)-x(3)+1;

x2, x3}]

-2*x(1)-x(2)+x(3)+2;

x(1)]

endfunction

x0=[0; 0; 0];

[x, obj, info, iter] = sqp(x0, @f, [],

@g)

Результат: 1

2

3

2. Метод множителей Лагранжа — метод нахождения условного экстремума

0, = 1 …

функции переменных.

относительно ограничений в виде уравнений ( ) =

Необходимые(и , ) = ( ) + =1 ( ) ,

,

( , )

= 0,

= 1 …

достаточные условия минимума имеют вид:

( ,

)

= 0,

= 1 …

В итоге получаем систему,

состоящую из

уравнений с тем же количество

переменных. Всякое решение определит

точку, в которой может быть экстремум.

(

+ )

3. Условия Каруша-Куна-Таккера — необходимые условия решения задачи

уравнений или

.

условного

нелинейного программирования; (также)

метод

нахождения

При соблюдении условия

( )

≤ (=) 0, = 1 …

ограничений в виде

экстремума

функции

переменных относительно

неравенств

Слейтера для существования оптимального плана в

Где

—

,

ri ,

(

)

< 0,

= 1 …

общей задаче с регулярным множеством планов

ri

0

0

, необходимо и достаточно

Что

относительная внутренность мн жества

,

≥

0, = 1 … , −произвольные, =

+ 1 …

существование такого вектора

, ) ≤ ( 0

, 0)

≤ ( , 0)

значения

{ 0, 0}

( 0

— седловая точка функции Лагранжа:

Для

,

,

≥ 0,

= 1 …

ограничений,

(

0

) = 0,

= 1 …

И выполняется условие

0

дополняющей нежесткости:

( )

= 1 …

теорема Каруша-Куна-Таккера верна без условия Слейтера.

,

выраженных

в виде

линейных

функций

,