Отчеты по практическим работам / Практическая работа №2

Постановка задачи

Целевая функция:

+ 2 2 + +

max( ) = max( ) ( )

= = 1 1

Ограничения:

11

1 + 12

2

=1

+ + 1 ≤ 1

21

1

+ 22

2

+ + 2 ≤ 2

1

+ .2

2

…

При условии

+ + ≤

Допустимые ≥ 0, где = 1 …

решения целевой функции:

1 случай. Система ограничений несовместна, следовательно, решений не имеет,

значит допустимых планов нет. Задача не имеет решения.

2

случай. Система

совместная

и определенная.

.

Матрица

≥ 0

решение: если все найденные

коэффициентов квадратная. Система имеет только одно

= =

,

то решение допустимое и

оптимальное.

Задача

решается

обычными

множество решений, из которых необходимо найти допустимые.

. Оставляем

только

уравнений,

соответствующих базисному минору.≤

Решаем систему

<

относительно

базисных неизвестных, что возможно единственным образом. Получаем

базисное решение.

Ход работы

1.

Исходные данные.

+ 7 3

+ 13 4

+ 1 5 + 14 6 + 5 7)

Система

max(11 1 + 18 2

Целевая функция:

−

4 5 + 26 6 − 8 7

= 60

7 1

+ 26 2 − 8 3 + 16 4

ограничений:

+ 18 3 − 9 4

+ 30 5

+ 25 6

+ 1 7 = 79

−5 1

+ 14 2

22 1

− 4 2

+ 18 3 + 8 4 + 6 5

+ 15 6

+ 14 7

≥ 72

2.

3 1

+ 8 2 − 10 3 + 1 4 + 1 5

+ 19 6

+ 29 7

≥ 45

Преобразование5 1 + 15 2

+ 1 3

− 10 4 + 9 5

+ 11 6

+ 27 7

≤ 62

7 1

+ 26 2 − 8 3 + 16 4

≤

− 4 5 + 26 6 − 8 7

= 60

−5 1

системы ограничений в вид:

:

+ 14 2

+ 18 3 − 9 4

+ 30 5

+ 25 6

+ 1 7 = 79

−22 1

+ 4 2

− 18 3 − 8 4 − 6 5

− 15 6

− 14 7

≤ −72

−3 1

−8 2 + 10 3 − 1 4 − 1 5

−19 6

− 29 7

≤ −45

3.

Матрица

5 1 + 15 2

+ 1 3

− 10 4 + 9 5

+ 11 6

+ 27 7

≤ 62

60

7

26

−8

16

−4

26

−8

:

ограничений

18

и вектор-столбец

79

−5

14

−9

30

25

1

,

= −22

4

−18

−8

−6

−15

−14

= −72

−3 −8 10 −1 −1 −19 −29

−45

5

15

1

−10

9

211

27

62

4. Преобразование

системы

ограничений

с

неравенствами

в

систему

уравнений:

7 1

+ 26 2

− 8 3

+ 16 4

− 4 5

+ 26 6

− 8 7

= 60

−5 1

+ 14 2

+ 18 3

− 9 4

+ 30

+ 25 6

+ 1 7

= 79

−22 1

+ 4 2

− 18 3

− 8 4

− 6 5

−

15 6

− 14 7

+ 8

= −72

−3 1

− 8 2

+ 10 3

− 1 4

−1 5 − 19 6

− 29 7

+ 9

= −45

Новая матрица5 1

+ 15 2

+ 1 3 − 10 4

+ 9 5

+ 11 6

+ 27 7

+ 10 = 62

60

7

26

−8

16 −4

26

−8

0 0

0

−5

ограничений

и вектор-столбец

:

79

=

14

18

−9

30

25

1

0

0

0

=

−22

4

−18

−8

−6

−15

−14

1

0

0 ,

−72

−3 −8 10 −1 −1 −19 −29 0 1 0

−45

Вектор базисных5

15

1

−10

9

11

27

0

0

1

62

= 5

1

6

5.

переменных

и вектор свободных переменных

:

Ранг базисных переменных

(так как 5 уравнений).

2

7

=

3

,

8

4

=

9

6. Матрица D, состоящая из коэффициентов5

при базисных переменных, и

10

26 −8 0 0 0

7

26 −8 16 −4

матрица S, состоящая из коэффициентов при свободных неизвестных:

=

−5

14

18

−9

30

25

1

0

0

0

−22

4

−18

−8

−6 ,

= −15

−14

1

0

0

−3 −8 10 −1 −1

−19 −29 0 1 0

7. Преобразования:5

15

=

( )

27

0

0

1

= + =

1

−10

9

11

−1

−1

−1

−1

Умножаем на

слева:

+ −1

= −1

+

=

=

−1

−

−1

Выражаем

:

,

=

Тогда в классическом виде

=

−1

Пусть:

1

= 1

−

+ 1,8 8

+ 1,10 10)

( 1,6 6

+ 1,7 7

+ 1,9 9

2

= 2

−

запишем:

+ 2,8 8

+ 2,9 9

+ 2,10 10)

( 2,6 6

+ 2,7 7

3

= 3

−

( 3,6 6

+ 3,7 7

+ 3,8 8

+ 3,9 9

+ 3,10 10)

=

−

(

+

+

+

+

)

4

4

−

4,6 6

4,7 7

4,8 8

4,9 9

4,10 10

Переносим

5

= 5

( 5,6 6

+ 5,7 7

+ 5,8 8

+ 5,9 9

+ 5,10 10)

= 1

1 1

+ 0 2

+ 0 3

+ 0 4

+ 0 5

+ 1,6 6

+ 1,7 7

+ 1,8 8

+ 1,9 9

+ 1,10 10

0 1

неизвестные влево и получаем систему с единичным базисом:

+ 1 2

+ 0 3

+ 0 4

+ 0 5

+ 2,6 6

+ 2,7 7

+ 2,8 8

+ 2,9 9

+ 2,10 10

= 2

0 1

+ 0 2

+ 1 3

+ 0 4

+ 0 5

+ 3,6 6

+ 3,7 7

+ 3,8 8

+ 3,9 9

+ 3,10 10

= 3

0

+ 0

+ 0

+ 1

+ 0

+

+

+

+

+

=

1

2

3

4

5

4,6 6

4,7 7

4,8 8

4,9 9

4,10 10

4

0 1

+ 0 2

+ 0 3

+ 0 4

+ 1 5

+ 5,6 6

+ 5,7 7

+ 5,8 8

+ 5,9 9

+ 5,10 10

= 5

Если в такойсистемесединичнымбазисомпринятьвсенебазисныепеременные

=

( 1, … , )

= ( 1, 2, 3

, 4, 5, 0,0,0,0,0)

равными нулю, то получим базисное решение системы:

8.

= −1

Находим единичное базисное решение:

−0.0422491

0.0261508

60

3.76172

−0.0132776 −0.0178093 −0.0339270

= −1 =

0.0314543

−0.0030496

0.0125949

0.0495192

0.0380437

79

0.86985

0.0210863

−0.0016771

−0.0024247

0.1129340

0.0258938 −72 = −2.16935

0.0220032

0.0217375

−0.0101139

−0.0324275

−0.0730248

−45

0.69736

−0.0229424

0.039 158

−0. 131115

0.1076391

−0.0508390

62

4.36517

Базисное = ( 1

, … , ) = (3.76172,0.86985,

−2.16935,0.69736,4.36517,0,0,0,0,0)

решение является недопустимым, так как

.

Базисное решение является невырожденным, так как

всех .

3 = для3 < 0

3

1

и

другой вектор

9.

Определяем

другой

вектор

базисных

переменных

свободных переменных

:

4

2

=

6

,

5

7

=

8

10.НоваяматрицаD,состоящаяиз

9

10

коэффициентовприбазисныхпеременных,

и новая матрица S, состоящая

0

из коэффициентов при свободных

неизвестных:

−8

16

26

−8

7

26

−4

0

0

18

−9

25

1

0

−5

14

30

0

0

= −18

−8

−15

−14

0 ,

= −22

4

−6

1

0

10 −1 −19 −29 1

−3 −8 −1 0 0

= −1

5

15

9

0

1

базисное решение:

11.Находим единичное1 −10

11

27

0

0.00000

0.63929

−0.02261

0.01479

−0.03204

−0.02386

60

= −1 =

0.01470

−0.03260

−0.03997

0.00000

−0.01516

79

0.24455

0.02167

0.01842

0.00938

0.00000

0.01060

−72 =

2.73784

−0.00255

−0.02013

−0.01744

0.00000

0.02799

−45

1.24778

Б

0.57872

−0.41419

−0.

1.00

00

1.23644

62

37.05609

= ( 1

, … , )

= (0, 0, 0.63929,04715.24455,

0, 2.73784, 1.24778, 0, 37.05609,0)

азисное решение является допустимым, так как

.

12.Находим коэффициенты

:

= −1

≠ 0

для всех

.

Базисное решение является невырожденным, так как

≥ 0

−0.02261

0.01479

−0.03204

0.00000

−0.02386

7

26

−4

0

0

0.01470

−0.03260

−0.03997

0.00000

−0.01516

−5

14

30

0

0

= 0.02167

0.01842

0.00938

0.00000

0.01060

−22

4

−6

1

0 =

−0.00255

−0.02013

−0.01744

0.00000

0.02799

−3

−8

−1

0

0

0.57872

−0.41419

− .04715

1.00000

1.23644

5

15

9

0

1

0.3533174

−0.8669022

0.5116944

−0.0320394

−0.0238608

1.0694808

−0.4615751

−0.9333869 −0.0399737 −0.0151646

= −0.0936294

1.0179225

0.5050438

0.0093754

0.0106011

13.Запишем

0.6063487

0.0020001

−0.2370757

−0.017438

0.0279853

10.3414595

19.605978

−4.3296947

−0.0471501

1.236438

уравнение в базисных переменных:

3

= 1

− ( 3,1 1

+ 3,2 2

+ 3,5 5

+ 3,8 8

+ 3,10 10)

4

= 2

− ( 4,1 1

+ 4,2 2

+ 4,5 5

+ 4,8 8

+ 4,10 10)

6

= 3

− ( 6,1 1

+ 6,2 2

+ 6,5 5

+ 6,8 8

+ 6,10 10)

7

4

− (

7,1 1

+

7,2 2

+

7,5 5

+

7,8 8

+

7,10 10

=

)

Переносим

неизвестные влево и получаем систему с единичным базисом:

9 = 5 −

( 9,1 1 + 9,2 2 + 9,5 5 + 9,8 8 + 9,10 10)

= 1

1 3

+ 0 4

+ 0 6

+ 0 7

+ 0 9

+ 3,1 1

+ 3,2 2

+ 3,5 5

+ 3,8 8

+ 3,10 10

0 3

+ 1 4

+ 0 6

+ 0 7

+ 0 9

+ 4,1 1

+ 4,2 2

+ 4,5 5

+ 4,8 8

+ 4,10 10

= 2

0 3

+ 0 4

+ 1 6

+ 0 7

+ 0 9

+ 6,1 1

+ 6,2 2

+ 6,5 5

+ 6,8 8

+ 6,10 10

= 3

3

4

6

7

9

+

7,1 1

+

7,2 2

+

7,5 5

+

7,8 8

+

7,10 10

4

0

+ 0

+ 0

+ 1

+ 0

=

0 3

+ 0 4

+ 0 6

+ 0 7

+ 1 9

+ 9,1 1

+ 9,2 2

+ 9,5 5

+ 9,8 8

+ 9,10 10

= 5