11. Функции комплексного аргумента

Числа могут быть комплексными: Z = a + b * i. Такие числа содержат действительную Re(z) и мнимую Im(z) части. Мнимая часть имеет множитель i или j, означающей корень квадратный

из -1:

3 i

2 j

2 + 3 i

-3. 14 i

-123. 456 + 2.7 e -3i

Ниже даны простейшие примеры работы с комплексными числами:

>> i

ans =

0 + 1. 0000i

>> z = 2 + 3i

z =

2. 0000 + 3. 0000 i

>> abs (z)

ans =

3. 6056

>> real (z)

ans =

2

>> imag (z)

ans =

3

>> angle (z)

ans =

0. 9828

Для работы с комплексными числами и данными в MATLAB используются следующие встроенные функции.

• imag (Z) возвращает мнимые части всех элементов массива Z. Пример:

» Z = [l + i , 3 + 2i , 2 + 3i];

» imag (Z)

ans =

1 2 3

• real (Z) возвращает вещественные части всех элементов комплексного массива Z. Пример:

» Z = [l + i , 3 + 2i , 2 + 3i];

» real (Z)

ans =

1 3 2

• conj (Z) возвращает число, комплексно-сопряжённое аргументу Z. Если Z комплексное, то conj (Z) = real (Z) - i * imag (Z);

» conj (2 + 3i)

ans =

2.0000 - 3.0000i

• abs(z) служит для получения модуля комплексного числа;

» Z = 3 + i * 2

Z =

3.0000 + 2.0000i

» R = abs (Z)

R =

3. 6056

• angle (Z) служит для получения аргумента комплексного числа, углы лежат в диапазоне

[- π ; + π], в радианах;

» theta = angle (Z)

theta =

0. 5880

– Формула Z = R .* exp (i * theta) даёт переход от показательной формы представления комплексного числа к алгебраической;

» Z = R .* exp (i * theta)

Z =

3. 0000 + 2. 0000 i

11.1. Системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами

Программа MATLAB позволяет легко решать системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами. Предположим, что дана система линейных уравнений:

Требуется найти токи I1 и I2. Для решения системы используется матрица коэффициентов R и матрица свободных членов F . Решение находится в виде произведения обратной матрицы коэффициентов на матрицу свободных членов:

F R W ⋅ − = 1

Ниже (рис. 9) приведён фрагмент программы MATLAB, который показывает порядок решения системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Таким образом, ток I1 = – 0. 0041 – 0. 0150i, а ток I2 = – 0. 0196 – 0. 0233i.

Рис. 9. Фрагмент программы MATLAB

12. Погрешность измерения величин

Пусть x – приближённое значение некоторой величины (например, полученное путём однократного измерения этой величины), а x₀ – её точное значение

Абсолютной погрешностью величины называется разность Δx = |x – x₀|.

Пример. В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, а при округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4.

Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу:

Пример 

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет 

Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна  или 4,3 %. 

При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность  или 0,3 %.

В научных экспериментах многие величины определяются не непосредственно, а косвенным путём – измерением значений других величин. Так, чтобы найти плотность тела, измеряют его массу, взвешивая на весах, после чего определяют объём тела, погружая его в жидкость. Плотность выражается через массу и объём тела.

ρ=m/V

Масса и объём, входящие в эту формулу, измеряются с некоторой погрешностью; это означает, что и плотность, вычисленная по этой формуле будет иметь погрешность.

Существуют несколько правил, позволяющих рассчитывать погрешности величин.

Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых: Δ(x + y) = Δx + Δy.

Абсолютная погрешность разности двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого: Δ(x – y) = Δx + Δy.

Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя.

Относительная погрешность произведения приближённо равна сумме относительных погрешностей отдельных сомножителей:  ε(xy)≈ε(x)+ε(y), в частности ε(x/y)≈ε(x)+ε(y)

Пример 12.1. 

Определить, какое равенство точнее: 911 = 0,818; 18 = 4,24;.

Решение.

Найдём значения данных выражений с большим числом десятичных знаков. Для этого выполним следующие действия: 

>> format long % длинное представление числа (15 знаков)

>> a1=9/11

a1 =

0.81818181818182

>> a2=sqrt(18)

a2 =

4.24264068711928

Затем вычислим предельные абсолютные погрешности:

>> abs(a1-0.818)

ans =

1.818181818182829e-004

>> abs(a2-4.24)

ans =

0.00264068711928

Округлим их с избытком:

Вычислим предельные относительные погрешности:

>> 0.00019/0.818

ans =

2.322738386308069e-004

>> 0.0027/4.24

ans =

6.367924528301887e-004

Таким образом,

Так как  , то равенство  9/11 = 0,818 является более точным.

Пример 12.2. 

Округлить сомнительные цифры числа a, оставив верные знаки: 

Решение.

Пусть а = 2,3544; δа = 0,2%; тогда Δа = а· δа = 0,00471. В данном числе верными являются три цифры, поэтому округляем его, сохраняя эти цифры:

а = 2,3544; Δа₁ = Δа+ Δ_окр= 0,0044+0,00471=0,00911<0,01

Значит, и в округлённом числе 2,35 все три цифры верны.

Пример 12.3. 

Найти предельную абсолютную и относительную погрешности числа 12,384, если оно имеет только верные цифры.

Решение.

Так как все пять цифр числа а =12,384 верны, то 

Пример 12.4. 

Вычислить и определить погрешности результата  ,

где  n = 3,0567(0,0001), m = 5,72(0,02).

Решение.

Имеем:

Ответ: