3.2 Создание простейших подпрограмм (файл-функций)

3.2.1. Общие требования к структуре файл-функций.

Файл-функция (процедура-функция) должна начинаться со строки заголовка

function [<ПКВ>] = <имя процедуры>(<ПВВ>).

Если перечень конечных (выходных) величин (ПКВ) содержит только один объект (в общем случае - матрицу), то файл-функция представляет собой обычную функцию (одной или нескольких переменных). Фактически даже в этом простейшем случае файл-функция является уже процедурой в обычном смысле других языков программирования, если выходная величина является вектором или матрицей. Первая строка в этом случае имеет вид:

function <имя переменной> = <имя процедуры>(<ПВВ>).

Если же в результате выполнения файл-функции должны быть определены (вычислены) несколько объектов (матриц), такая файл-функция представляет собой уже более сложный объект, который в программировании обычно называется процедурой (в языке Паскаль), или подпрограммой. Общий вид первой строки в этом случае становится таким:

function [y1, y2, ... , yn] = <имя процедуры>(<ПВВ>),

т. е. перечень выходных величин y1, y2, ... , y должен быть представлен как вектор-строка с элементами y1, y2, ... , y (все они могут быть матрицами).

В простейшем случае заголовок функции одной переменной приобретёт вид:

function y = func(x)

где func - имя функции (m-файла).

Пример 3.1 Рассмотрим составление m-файла для вычисления функции

Для открытия редактора m-файла следует активизировать меню <File> <New> <M-File> командного окна MatLAB. На экране появится окно текстового редактора. В нем нужно набрать текст:

function [y] = Fun331(x,d)

%Процедура, которая вычисляет значение функции

% y = (d3)*ctg(x)*sqrt(sin(x)4-cos(x)4).

% Обращение y = F1(x,d).

y = (d^3).*cot(x).*sqrt(sin(x).^4-cos(x).^4);

После этого необходимо сохранить этот текст в файле под именем (допустим) F331.m в вашем активном каталоге. Необходимый m-файл создан. Теперь можно пользоваться этой функцией при расчётах. Так, если ввести команду в окне Command Window

» y = Fun331(1, 0.1)

то получим результат

y =

4. 1421e-04.

Следует заметить, что аналогично можно получить сразу вектор всех значений указанной функции при разных значениях аргумента Так, если сформировать вектор zet

» zet= 0:0.3:1.8;

и обратиться в ту же процедуру

» my = F331(zet,1)

то получим:

my =

Columns 1 through 6

0 + Infi 0 + 2.9369i 0 + 0.8799i 0.3783 0.3339 0.0706

Column 7

-0.2209

Примечания.

1. Возможность использования сформированной процедуры как для отдельных чисел, так и для векторов и матриц обусловлена применением в записи соответствующего M-файла вместо обычных знаков арифметических действий их аналогов с предшествующей точкой (.* ./ .^)

2. Во избежание вывода на экран нежелательных промежуточных результатов, необходимо в тексте процедуры все вычислительные операторы завершать символом " ; ".

3. Как показывают приведённые примеры, имена переменных, указанные в заголовке файл-функции могут быть любыми, т. е. носят формальный характер. Важно, чтобы структура обращения полностью соответствовала структуре заголовка в записи текста M-файла и чтобы переменные в этом обращении имели тот же тип и размер, как и в заголовке M-файла.

Чтобы получить информацию о созданной процедуре, достаточно набрать в командном окне команду:

» help F331,

и в командном окне появится

Процедура, которая вычисляет значение функции

y = (d3)*ctg(x)*sqrt(sin(x)4-cos(x)4).

Обращение y = F1(x,d)

Пример 3.2 Другой пример. Построим график двух функций:

y1 = 200 sin(x)/x; y2 = x2.

Для этого создадим m-файл, который вычисляет значения этих функций:

function [y] = Fun332(x)

%Вычисление двух функций

% y(1) = 200 sin(x)/x и y(2) = x2.

y(:,1) = 200*sin(x)./x;

y(:,2) = x*2;

end

Теперь построим графики этих функций в окне Command Window

>> fplot('Fun332', [-20 20], 50, 2), grid

>> set(gcf,'color','white'); title('График функций "y(1) = 200 sin(x)/x и y(2) = x2"')

Результат изображён на рис. 2.1.

Рис. 3.1. График функций y1 = 200 sin(x)/x; y2 = x2.

Пример 3.3 Cоздание файл-функции, вычисляющей значения функции

y(t) = k1+k2·t+k3·sin(k4·t+k5)

В этом случае удобно объединить совокупность коэффициентов k в единый вектор К:

К = [k1 k2 k3 k4 k5] и создать такой M-файл:

function [y] = Fun333(x,K)

%Вычисление функции

% y = K(1)+K(2)*x+K(3)*sin(K(4)*x+K(5)),

% где К - вектор из пяти элементов

% Используется для определения текущих значений

% параметров движения объекта

y = K(1)+K(2)*x+K(3)*sin(K(4)*x+K(5));

end

Тогда расчёт, например, 11-ти значений этой функции можно осуществить так

» K = ones(1,5);

» t = 0:1:10;

» fi = Fun333(t, K)

fi =

1. 8415 2. 9093 3. 1411 3. 2432 4. 0411 5. 7206 7. 6570 8. 9894 9. 4560 10. 0000

3.2.2. Типовое оформление файла-функции

Рекомендуется оформлять m-файл процедуры-функции по такой схеме:

function [<Выходные парам.>] = <имя функции>(<Входные парам.>)

% <Краткое пояснение назначения процедуры>

% Входные переменные

%<Детальное пояснение о назначении, типе и размерах

% каждой из переменных, перечисленных в перечне <Входные парам.>

% Выходные переменные

% <Детальное пояснение о назначении, типе и размерах

% каждой из переменных перечня <Выходные парам.>

% и величин, используемых в процедуре как глобальные>

% Использование других функций и процедур

% <Раздел заполняется, если процедура содержит обращение

% к другим процедурам, кроме встроенных процедур MatLab>

< П у с т а я с т р о к а >

% Автор : <Указывается автор процедуры, дата создания конечного варианта

% процедуры и организация, в которой созданная программа>

< Т е к с т и с п о л н я е м о й ч а с т и п р о ц е д у р ы >

Перечень входных и выходных переменных, разделяется запятыми.

Примечание. При использовании команды help <имя процедуры> в командное окно выводятся строки комментария до первой пустой строки.

3.2.3 Функции функций

Некоторые важные универсальные процедуры в MatLAB используют в качестве переменного параметра имя функции, с которой они оперируют, и поэтому требуют при обращении к ним указания имени M-файла, в котором записан текст некоторой другой процедуры (функции). Такие процедуры называют функциями функций.

Чтобы воспользоваться такой функцией от функции, необходимо, чтобы пользователь предварительно создал M-файл, в котором вычислялось бы значение нужной функции по известному значению её аргумента.

Перечислим некоторые из стандартных функций от функций, предусмотренных в MatLAB.

Вычисление определённых интегралов

Для вычисления интегралов методом трапеций в системе MATLAB предусмотрена функция trapz:

Integ = trapz (х,у);

Одномерный массив х (вектор) содержит дискретные значения аргументов подынтегральной функции. Значения подынтегральной функции в этих точках сосредоточены в одномерном массиве у. Чаще всего для интегрирования выбирают равномерную сетку, то есть значения элементов массива х отстоят друг от друга на одну и ту же величину (шаг интегрирования). Точность вычисления интеграла зависит от величины шага интегрирования: чем меньше этот шаг, тем больше точность.

Вычислим простой интеграл методом трапеций с шагом интегрирования π/10.

>> x = 0:pi/10:pi;

>> y=cos(x);

>> J1 = trapz(x,y)

J1 =

1.387778780781446e-16

Обычно для достижения высокой точности требуется выполнять интегрирование с очень малыми шагами, а контроль достигнутой точности осуществлять путём сравнения последовательных результатов. При одном и том же шаге интегрирования методы более высоких порядков точности достигают более точных результатов.

В системе MatLab методы интегрирования более высоких порядков точности реализуются функцией: quad (метод квадратур)

Как и многие другие функции системы MATLAB, функция quad может принимать различное количество параметров. Полный формат вызова этой функции

Q = quad(‘Fun’,a,b,Tol,Trace)

альтернативный вариант вызова

Q = quad(@Fun,a,b,Tol,Trace)

включает в себя три параметра: ‘Fun’ (@Fun) - имя подынтегральной функции; a - нижний предел интегрирования; b - верхний предел интегрирования; Tol – требуемая точность вычислений и Trace – графическое сопровождение процесса вычисления. По умолчанию погрешность вычисления равна 1Е-06.

Из высшей математики известно, что к определённым интегралам могут быть сведены многие другие типы интегралов, например криволинейные интегралы. Таким образом, с помощью функций quad, quad8 (или trapz) можно вычислить и эти интегралы.

Примеры:

Q = quad(@myfun,0,2);

myfun.m файл с подынтегральной функцией:

%-------------------%

function y = myfun(x)

y = 1./(x.^3-2*x-5);

%-------------------%

Если функция имеет в качестве дополнительного параметра константу:

Q = quad(@(x)myfun2(x,5),0,2);

myfun2.m - файл с подынтегральной функцией

%----------------------%

function y = myfun2(x,c)

y = 1./(x.^3-2*x-c);

%----------------------%

Пример 3.1.1 Рассмотрим пример вычисления криволинейного интеграла первого рода. Пусть требуется вычислить массу М винтовой линии С:

х = sin(t); у = 2cos(t); z =3t; 0 <= t <= 2

с постоянной линейной плотностью, равной 5.

Задача решается с помощью криволинейного интеграла первого рода:

который сводится к вычислению следующего обыкновенного определённого интеграла:

Для вычисления подынтегральной функции создадим следующий текст:

function [z] = Fun311(t)

%Вычисляет значение функции

% z = sqrt( cos(t)^2 + 4*sin(t)^2 +9)

z = sqrt(cos(t).^2 + 4*sin(t).^2+9);

end

который запишем в файл Fun311.m, после чего вызываем функцию quad:

M = 5*quad( 'Fun311',0,2)

М =

34.2901

Двойные интегралы в системе MATLAB вычисляются с помощью специальной функции dblquad.

Пример 3.1.2 Вычислим интеграл:

Оформим подынтегральную функцию в следующем виде:

function z = Fun312( x, у )

z = x.*sin(y) + y.*sin(x);

(записав этот текст в файл Fun312 .m) и вызовем функцию dblquad:

J = dblquad( 'Fun312', 0, 1, 1, 2 );

J =

1.1678

Пример 3.1.3 Вычислить значение интеграла функции y(x) на отрезке [1;3] с шагом 0.1 и построить график на отрезке интегрирования при d=5.

Последовательность действий будет такой:

1) Создаем процедуру (подпрограмму) F1 вычисления y(x) и сохраняем в файле F1.m

function [y] = Fun313(x,d)

%Процедура вычисляет значение функции

% y = d^3*sqrt(sin(x)4+cos(x)4).

% Обращение y = F1(x,d).

y = d^3*sqrt(sin(x).^4+cos(x).^4);

end

где y – выходной параметр (возвращает результат работы процедуры)

x,d - входные параметры (передаёт в процедуру значение аргумента x и константы d)

2) Вычисляем значение интеграла используя процедуру quad не задавая шаг интегрирования.

>> d=5;

>> M =d^3*quad( @(x)Fun313(x,d), 1, 3)

M =

2.701850399088707e+04

2) Строим график заданной функции

>> z= 1:0.1:3;

>> my = Fun313(z,5);

>> plot(z,my)

>> xlabel('(x)'); ylabel('(y)');

>> set(gcf,'color','white'); title('График функции "y = (d3)*sqrt(sin(x)4+cos(x)4)."')

В результате получим график (Рис.3.1)

Рис. 3.2 График функции

Поиск экстремума функции одной переменной

При решении задач поиска максимума и минимума функции y = f(x) одной переменной выделяют задачи локального (на каком-либо интервале) и глобального (на всей числовой оси) экстремума. В пакете MATLAB эти методы реализованы в командах fminsearch, fminunc, fmincon, fminbnd.

Минимум одномерной функции отыскивают с помощью команды fminsearch. Для поиска максимума функции f(x) достаточно найти минимум функции -f(x) , поэтому специальной функции для поиска максимумов в MATLAB не существует.

[хm, уm]= fminsearch(name, a [, options])

для которой:

• name - имя М-функции, вычисляющей значение f(x);

• а - границa интервала, c которой начинается поиск минимума;

• options - параметры, управляющие ходом решения;

• хm, уm - координаты точки, в которой достигается минимум функции на заданном интервале.

Пример 3.1.4

Определить экстремумы функции y=x⁴-0.5x³-28x²+140 на отрезке [-4;6]

В M-файле с именем Fun314.m пишем:

function [y] = Fun314(x)

y=x.^4-0.5*x.^3-28*x.^2+140;

end

Потом в командном окне пишем:

x=-4:0.1:6;

y=x.^4-0.5*x.^3-28*x.^2+140;

plot(x,y,'-k'), grid

Опираясь на полученный график (Рис.3.3 а) функции задаём интервалы поиска локальных экстремумов.

% Ближайший минимум функции от точки x=-4

y=Fun314(x);

[xmin,ymin]=fminsearch(@Fun314,-4)

xmin = -3.558886718750000e+00

ymin = -3.168172523631594e+01

Для другого интервала [0;5]

% Минимум функции на интервале от точки x=3

[xmin,ymin]=fminsearch(@Fun314,3)

xmin = 3.933875000000005e+00

ymin = -8.426236646759048e+01

Для определения максимума ставим знак минус перед вычислением f(x) в функции записанной в файле Fun341 и сохраняем его с именем Fun341a

function [y] = Fun314a(x)

y=-(x.^4-0.5*x.^3-28*x.^2+140);

end

строим график записанной нами функции Fun341a (Рис.3.2.б)

>> x=-4:0.1:6;

>> y=Fun314a(x);

>> plot(x,y,'-k'), grid

И определяем «минимум» в интервале [-2,2], который является максимумом для исходной функции

[xmax,ymax]=fminsearch(@Fun314a,-2,2)

xmax = 1.776356839400251e-15

ymax = -140

а)

б)

Рис.3.3 Определение экстремумов функции y=x⁴-0.5x³-28x²+140 на отрезке [-4;6]

Поиск экстремума функции нескольких переменных

Вычисление экстремума функции многих переменных z=f(x₁,x₂,…,x_n) осуществляет функция fminsearch.

[x, fval] = fminsearch(fun, x0,options]

где:

• fun - имя М-функции, вычисляющей значение  z=f(x₁,x₂,…,x_n;

• x0 – вектор из n элементов, содержащий координаты точки начального приближения;

• options – параметры, управляющие ходом решения;

• x – вектор из n элементов, содержащий координаты точки, в которой достигается минимум функции;

• fval – значение функции в точке экстремума x.

Пример 3.1.5 Найти минимум функции  который, очевидно, достигается в точке x₁=x₂=0. Предварительно нужно в отдельном m-файле описать функцию

В данном примере мы не будем создавать m-файл, а запишем вычисление функции прямо в заголовке обращения к функции поиска экстремума.

[z,fval] = fminsearch(@(x) (x(1)^2+x(2)^2), [2,2])

z = -4.133027491590706e-05 -1.015268959932468e-05

fval = 1.811268730724691e-09

%Построение графика

[x,y]=meshgrid(-2:0.2:2, -2:0.2:2);

z=sqrt(x.^2+y.^2);

surf(x,y,z);

График

Рис. 3.4 График функции

Для безусловной минимизации функций от нескольких переменных используют также функцию fminunc (от слова unconstrained – без ограничений). Её первый входной аргумент – имя минимизируемой функции, второй – координаты начальной точки для поиска

[x,fval] = fminunc(fun,x0,оptions)

Пример 3.1.6 Найдём минимум функции двух переменных который, очевидно, достигается в точке x₁=x₂=0. Для этого воспользуемся функцией fminunc

Предварительно в отдельном файле опишем функцию

function [y,dy] = Fun316(x)

y=x(1)^2+x(2)^2; % функция

dy=[2*x(1),2*x(2)]; % градиент

end

>> [z,fval]=fminunc(@Fun316,[3 3],optimset('Gradobj','on'))

Локальный минимум найден.

Процесс оптимизации завершён, потому что шаг градиента - меньше чем

значение по умолчанию функционального допуска.

<подробности критериев остановки>

z = 0 0

fval = 0

Из полученного результата можно сделать вывод, что функция fminunc выполняет задачу с большей точностью, чем функция fminsearch. Но для её использования необходимо хорошо представлять математический аппарат алгоритма нахождения экстремума функции.

Решение нелинейных уравнений

Одна из распространённых алгебраических задач – поиск корней уравнения f(x)=0. Для численного отыскания корней проще всего построить график функции y=f(x) и найти точки его пересечения с осью абсцисс (в MATLAB это можно сделать с помощью команд plot, fplot, ezplot). Аналогично можно поступить и в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными f(x, у)=0, g(x, y)=0, построив на плоскости (х, у) графики этих функций и найдя точки их пересечения друг с другом. Сложнее обстоит дело с поиском комплексных корней, здесь требуется привлечение специальных методов.

Для поиска корней сложных уравнений с одной переменной, например, включающих логарифмические, тригонометрические, экспоненциальные зависимости, применяют команду fzero. Её входными аргументами служат имя функции, вычисляющей левую часть уравнения f(x)=0, и начальное приближение x₀.

Пример 3.1.7. Возьмём полином f(x)=x²+3x+2 с корнями -1 и -2.

В MATLAB их можно найти посредством команды fzero двумя путями. В первом случае нужно сформировать вспомогательную функцию Fun317 в виде отдельного файла во-втором же создать временную функцию (на период данного сеанса MATLAB) при помощи команды inline. Команда fzero, использующая численные методы, возвращает один из корней полинома в зависимости от начального приближения.

Первый способ 1) Создаём m-файл вычисления заданного полинома function [y] = Fun317(x) y=x^2+3*x+2; end 2) Строим график полинома >> x=-3:0.2:0; >> y=Fun317(x); >> plot(x,y,'-k'), grid 3) Дважды вызываем команду fzero, указывая координаты точек начала интервала поиска >> x1=fzero(@Fun317,-3) x1 = -2.000000000000000e+00 >> x2=fzero(@Fun317,0) x2 = -1

Второй способ 1) Создаём временную функцию (на период данного сеанса MATLAB) при помощи команды inline. f(x)=inline(‘x^2+3*x+2’); 2) Строим график полинома >> x=-3:0.2:0; >> y=Fun317(x); >> plot(x,y,'-k'), grid 3) Дважды вызываем команду fzero, указывая координаты точек начала интервала поиска >> x1=fzero(f(x),-3) x1 = -2.000000000000000e+00 >> x2=fzero(f(x),0) x2 = -1

В команде fzero и других командах, рассматриваемых ниже, имеется возможность задавать структуру опций решателя. Её можно описать вручную, но удобнее использовать команды optimget и optimset. Для получения полного списка опций и значений по умолчанию применяют формат optimset(‘имя решателя'), например, opts=optimset('fzero'). Для изменения опций используется команда

opts=optimset(‘имя параметра’,значение_параметра).

>> o=optimset('fzero'); %опции команды zero по умолчанию

>> optimget(o,'TolX'); %точность вычислений по умолчанию

>> x1=fzero(@Fun317,-3,o) %оптимизация с точностью 1е-16

x1 = -2.000000000000000e+00

x2=fzero(@Fun317,0,o)

x2 = -1

Уменьшим точность вычислений в предыдущем примере, изменяя опции решателя:

>> o=optimset('fzero'); %опции команды zero по умолчанию

>> о=optimset(o,'TolX',1e-1); %точность вычислений 0.01

>> x1=fzero(@Fun317,-3,o) %оптимизация с точностью 1е-1

x1 = -1.970825976146193e+00

>> x2=fzero(@Fun317,0,o)

x2 = -1.024000000000001e+00

Получили менее точный результат

Для численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений с несколькими неизвестными вида F(X)=0, где F – вектор-функция, Х – вектор переменных, предназначена команда fsolve. Ее входными аргументами служат имя функции, оформленной в виде отдельного файла, в которой описаны левые части нелинейных уравнений, и вектор начальных значений переменных. Проиллюстрируем применение этой команды на примере.

Пример 3.1.8 Задача о двух лестницах.

В узком коридоре крест-накрест стоят две лестницы длиной 45 и 35 метров (рис. 3.4).

Рис.3.5. Графическая иллюстрация и матмодель задачи.

Расстояние от земли до точки их пересечения составляет 10 метров. Определить ширину коридора.

Решение. Обозначим расстояние от верхних точек лестниц до земли через a и b, ширину переулка через x, а расстояние от точки пересечения до левой стенки через y. Тогда можем записать систему 4 уравнений с 4 неизвестными, приведённую на рис. 4.18.

Решим систему в численном виде с помощью команды fsolve. Предварительно составим вспомогательную функцию Fun318, содержащую информацию об уравнениях.

function [fn]=Fun318(p)

x=p(1); y=p(2); a=p(3); b=p(4);

f(1)=x^2 + a^2 - 45^2; f(2)=x^2 + b^2 - 35^2;

f(3)=y/10 - x/b; f(4)=(x-y)/10 - x/a;

fn=f(:);

end

Решаем систему, задав вектор начальных условий [10; 10; 20; 20]

x=fsolve(@Fun318,[10; 10; 20; 20])

Уравнение решено.

fsolve завершил работу, потому что вектор функциональных значений – близок к нулю

как измерено значением по умолчанию функционального допуска, и

проблема кажется регулярной как определено градиентом.

< подробности критериев завершения>

x = 3.181745909535552e+01

2.181893352212048e+01

3.182215103847459e+01

1.458249967308561e+01

Получаем ответ: x =31.8175; y =21.8189; a =31.8222; b =14.5825.