9. Представления синусоидальных ЭДС, напряжений и токов виде вращающихся векторов и в виде комплексных величин. Комплексные амплитуды синусоидальных ЭДС, напряжения и тока. Оператор поворота комплексной амплитуды и соответствующая векторная диаграмма.

(Нарисовать 3 таких рисунка, над векторами подписать I, U, R на разных рисунках).

Длина отрезка ОА в принятом масштабе равна амплитуде тока (ЭДС, напряжения). Проекция вектора на ось ординат (ОВ) равна мгновенному значению тока (ЭДС, напряжение) в момент времени. При вращении вектора в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки) с угловой скоростью в любой момент времени его проекция на ось ординат будет равна соответствующему мгновенному значению тока (ЭДС, напряжение):

i=I_msin(ωt+φ_i) (e=E_msin(ωt+φ_i); u=U_msin(ωt+φ_i))

Любой вектор на плоскости, проведенный из начала координат и изображающий значение ЭДС, напряжения или тока, однозначно определяется точкой, соответствующей концу этого вектора (т. А).

Комплексное число (соответствующее точке ) имеет вещественную (ОС) и мнимую (ОВ) составляющие на комплексной плоскости.

Соответственно формулы для тока, ЭДС и напряжения будут выглядеть так:

I_m= I_me^j𝜓= I_mcos𝜓_i+ jI_msin𝜓_i

E_m= E_me^j𝜓= E_mcos𝜓_i+ jE_msin𝜓_i

U_m= U_me^j𝜓= U_mcos𝜓_i+ jU_msin𝜓_i

j- оператор поворота комплексной амплитуды

10. Законы Ома и Кирхгофа для цепей переменного тока в комплексном выражении. Активная, реактивная и полная мощности. Треугольник мощностей. Коэффициент мощности и способы его повышения.

Закон Ома для полной цепи переменного тока.
Если в цепи переменного тока имеются нагрузки разных типов, то закон Ома выполняется только для максимальных (амплитудных) и действующих значений тока и напряжения. В этом случае:   - полное сопротивление переменному току.
Учитывая, что отношение напряжения к силе тока – это сопротивление, и подставляя конкретные выражения для соответствующих сопротивлений, получим:  .
Сдвиг фаз в цепи переменного тока определяется характером нагрузки:    или  .

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

Алгебраическая сумма комплексных действующих значений токов в узле равна нулю.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме

В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных действующих значений ЭДС равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений в нём.

.

При использовании символического метода можно пользоваться понятиями мощностей. Но в комплексной форме можно записать только полную мощность:

где Ï — комплексно-сопряженный ток

S cos φ ± j S sin φ = P ± j Q.

Полная мощность в комплексной форме представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует активной мощности рассматриваемого участка, а коэффициент при мнимой части – реактивной мощности участка. Значение знака перед мнимой частью: “+” означает, что напряжение опережает ток, нагрузка – активно-индуктивная; “–” означает, что нагрузка - активно-емкостная.

P=UI=I²R – активная мощность

Q=XI²=UX – реактивная мощность

S=ZI² – полная мощность

Здесь Р=U_RI - активная мощность, которая выделяется на активных сопротивлениях цепи. Она связана с необратимыми преобразованиями электрической энергии, то есть с совершением работы (полезной) в электроустановке. Активная мощность измеряется в ваттах [Вт].

Q=U_xI - реактивная мощность. Связана в электроустановках с совершением обратимых преобразований энергии, полезной работы она не совершает. В электроустановках затрачивается на создание электрических (С) и магнитных (L) полей. Реактивная мощность измеряется вольт амперах реактивных [ВАр].

Реактивная мощность оказывает существенное влияние на режим работы электрической цепи. Циркулируя по проводам трансформаторов, генераторов, двигателей, линий электропередач, она нагревает их. Поэтому расчет проводов и других элементов устройств переменного тока производят из полной мощности, которая учитывает активную и реактивную мощности.

S=UI - полная мощность, измеряется в вольт амперах [В*А]. Из треугольника мощностей определим:

.

Из треугольника мощностей можно записать:

,

откуда .

Множитель cos - называется коэффициентом мощности. Коэффициент мощности это отношение активной мощности к полной. Он показывает, какая часть от полной мощности потребленной электроустановкой из сети затрачивается на совершение полезной работы. Очевидно, чем выше коэффициент мощности, тем эффективнее преобразование энергии в электроустановке. Наилучшее значение cos=1, в этом случае вся потребленная из сети энергия затрачивается на совершение полезной работы.