4. Математические модели. Дискретно-стохастические модели (р-схемы).

Р схема – дискретно стахостическая модель. От англ. “вероятностный автомат”. Необходимо задать 3 множества, а так же 2 группы распределения вероятностей.

1я группа.

	z1	z2	…	zn
ХiZj	p1	p2	…	pn

2я группа.

	y1	y2	…	yk
ХiZj	q1	q2	…	qk

При выполнении условия

Здесь различают автомат Мили и Мура (выходной не зависит от входного сигнала).

Частными случаями являются Y – детерминированный (выработка сигнала предопределена) и Z (какой сигнал на выходе – процесс случайный) – детерминированные автоматы.

Рассмотрим пример

Пусть заданY – детерминированный P-автомата

Z	Z0	Z1	Z2	Z3
Y	0	1	1	0

0

0,5 0,4 0,6

0,5

0 1

0,5 0,5

0,25 0,75

1

Требуется оценить вероятность получения на выходе сигнала 1, т.е. суммарную финальную вероятность попадания (пребывания) автомата в состояниях и.

Под вероятностями состояний будем понимать конечные или финальные вероятности этих состояний. Иначе говоря это доля времени, котое пребывает автомат в том или ином состоянии если время работы автомата бесконечно. Финальные вероятности существуют и м.б. определены только в том случае, если из любого состояния можно попасть в любое другое за конечное число шагов. В примере z0 – безвозвратная вершина (уйдя из нее процесс никогда не вернётся)

Правило нахождения вероятностей!!! Вероятность любого состояния равна сумме произведений вероятностей состояний, из которых происходит переход в дано состояние, на вероятность этих переходов.

Используем уравнение нормировки:

С т.з. математического описания у-детерминированный автомат Мура представляет собой дискретную цепи Маркова.

7. Модель "Память-АЛУ". Построение и решение системы уравнений. Анализ результатов.

ПМК тактовый сигнал

БЗУ

АЛУ

Исследуемая система состоит из 3х составляющих. Из памяти ПМК по тактовому считываются в АЛУ ПМК. Если АЛУ готово принять ПМК, она обрабатывается, иначе ПМК загружается в регистровое АЛУ. При полном заполнении БЗУ ПМК блокируется в памяти.

Построим математическую модель и попытаемся ее исследовать.

Модель стохастическая, так как число тактов обрабатываемых ПМК в АЛУ величина случайная.

Считаем, что ПМК считывается каждые 2 такта.

Для описания интервалов обслуживания используем регулярный просеянный поток. Просеянный поток иногда называют дискретным пуассоновским, так как его свойства аналогичны для моментов вероятности кратным периоду Т.

q - вероятность того, что в момент событие не произойдет, () - вероятность того, что произойдет.

Какова вероятность того, что обслуживание окончится через i тактов?

.

Средние значение времени обслуживания

=;

- математическое ожидание интервала обслуживания.

Это выражение соответствует геометрическому распределению: .

К просеянному регулярному потоку приводит, например регулярный поток данных , передаваемый по каналам связи с контролем наличия сбоев в передаваемом коде и исправлением путем повторной передачи.

Построим граф переходов в цепи Маркова. Определим состояние системы вектором, имеющим 3 компоненты: .

Временная составляющая t₁ – число тактов, оставшихся до появления заявки на выходе источника (t₁=0, 1, 2), 0 - если источник заблокирован,

t₂-время оставшееся до окончания обслуживания (возможное) заявки в АЛУ. t₂ может принимать два значения:

t₂=0-узел свободен;

t₂=1-узел занят.

Комбинаторная составляющая j-количество заявок в накопителе.

Построим граф и систему уравнений для стационарных (финальных) вероятностей состояний. P.

В состояние P₀₂₀ система больше не вернется, поэтому P₀₂₀=

Обозначим ,.

Тогда из 1 и 2 получим: ,.

Проведя индукцию по i, будем иметь

Из 6 и 7:

;

.

Уравнение 5 превращается в тождество. Используя уравнение нормировки .

получим:

.

Отсюда, учитывая, что сумма- это сумма геометрической прогрессии, получим

.

Используя полученное значение p (фактически, это вероятность простоя АЛУ) и рассчитав вероятности всех остальных состояний, можно найти другие интересующие нас характеристики системы.

Для просеянного потока математическое ожидание времени обслуживания каналом

, Т- период просеивания.

Определяем среднее время обслуживания заявки системы в целом (время пребывания) S.

Для одной заявки: SP_{обсл АЛУ} = m

Отсюда: S=

Средняя длина очереди