3.2 Температурное поле

Совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства в данный момент времени называется температурным полем. Нахождение температурного поля является главной задачей аналитической теории теплопроводности. Математически оно записывается в виде:

(1)

Различают стационарное температурное поле, когда температура во всех точках пространства не зависит от времени, и нестационарное, соответствующее неустановившемуся процессу. В зависимости от количества координат, вдоль которых может изменяться температура тела, различают одномерное, двухмерное и трехмерное поля температур. Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

(2)

3. Градиент температур

Изотермическая поверхность – геометрическое место точек, температура которых одинакова. Так как одна и та же точка пространства не может одновременно иметь разные значения температуры, то изотермические поверхности не могут пересекаться. Они либо оканчиваются на поверхности тела, либо целиком лежат внутри тела (не могут обрываться внутри тела). Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает семейство изотерм, которые обладают свойствами изотермических поверхностей. На рис. 1 изображено семейство изотерм, отличающихся на Δt. Температура в теле может изменяться только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. Наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности.

Градиент температуры grad t – вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению. Необходимым условием распространения тепла является неравномерность распределения температуры в рассматриваемой среде, поэтому для передачи тепла теплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента в различных точках тела. Градиент темпе­ратур обозначается одним из следующих символов:

(3)

Знак частной производной применен здесь потому, что в общем случае температура может изменяться не только в пространстве, но и во времени (при не стационарности поля температуры).

Температурный градиент является вектором, направленным по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры, °С/м.

3. Тепловой поток

Количество теплоты Q_τ, (Дж), переносимое через какую-либо изотермическую поверхность в единицу времени, называется тепловым потоком Интенсивность переноса теплоты характеризуется плотностью теплового потока. Плотность теплового потока – это количество теплоты, передаваемое в единицу времени через единичную площадь поверхности теплообмена . Плотность теплового потока есть вектор, направление которого совпадает с направлением распространения теплоты в данной точке и противоположно направлению вектора температурного градиента, так как теплота всегда распространяется от более горячих частей тела к холодным, согласно второму закону термодинамики (рис. 2).

5. Закон Фурье является основным законом теплопроводности, который устанавливает, что количество переданной теплоты пропорционально градиенту температуры, площади сечения, перпендикулярного направлению распространения теплоты, и времени.

(4)

где Q_τ - количество теплоты, Дж;

λ - коэффициент теплопроводности, Вт/(м·град);

- температурный градиент, град/м;

F- площадь сечения, м²;

τ - время, с.

Если количество переданной теплоты отнести к единице площади сечения и единице времени, то установленную зависимость можно записать:

(5)

Этот закон лежит в основе всех теоретических и экспериментальных исследований процессов теплопроводности. Множитель пропорциональности λ в уравнениях (4 и 5) называется коэффициентом теплопроводности. Он характеризует способность вещества проводить тепло.

Знак «–» в формуле (4) указывает на противоположные направления вектора теплового потока и вектора градиента температурного поля. Вектор плотности теплового потока q всегда направлен в сторону наибольшего уменьшения температуры (рис. 2).

5. Величина коэффициента теплопроводности представляет собой количество тепла, которое переходит в единицу времени через один квадратный метр изотермической поверхности при температурном градиенте, равном единице.

Коэффициент теплопроводности λ, Вт/(м·град) является одной из важнейших теплофизических характеристик вещества. Для различных веществ коэффициент теплопроводности различен и в общем случае зависит от структуры, состава, плотности, влажности, давления и температуры их. Все вместе взятое затрудняет выбор правильного значения коэффициента теплопроводности. Поэтому при ответственных расчетах значение коэффициента теплопроводности следует определять путем специального изучения применяемого материала.

В металлах носителем тепловой энергии являются свободные электроны. При повышении температуры тела вследствие усиления тепловых неоднородностей рассеивание электронов увеличивается, что влечет за собой уменьшение коэффициента теплопроводности чистых металлов. При наличии разного рода примесей коэффициент теплопроводности металлов резко убывает. Последнее можно объяснить увеличением структурных неоднородностей, которые приводят к рассеиванию электронов. Так, для чистой меди  = 395 Вт(мК), для той же меди со следами мышьяка  = 142 Вт(мК).

В диэлектриках с повышением температуры коэффициент теплопроводности обычно увеличивается. Как правило, для материалов с большей объемной плотностью коэффициент теплопроводности имеет более высокое значение. Он зависит от структуры материала, его пористости и влажности.

Многие строительные и теплоизоляционные материалы имеют пористое строение (кирпич, бетон, керамзит, асбест, шлак и др.), и применение закона Фурье к таким телам является в известной мере условным. Наличие пор в материале не позволяет рассматривать такие тела как сплошную среду. Коэффициент теплопроводности порошкообразных и пористых тел сильно зависит от их объемной пористости. Например, при возрастании плотности  от 400 до 800 кгм³ коэффициент теплопроводности асбеста увеличивается от 0,105 до 0,248 Вт(мК). Такое влияние плотности на коэффициент теплопроводности объясняется тем, что теплопроводность заполняющего поры воздуха значительно меньше, чем твердых компонентов пористого материала.

Коэффициент теплопроводности пористых материалов сильно зависит также от влажности. Для влажного материала коэффициент теплопроводности значительно больше, чем для сухого материала и воды в отдельности. Например, для сухого кирпича  = 0,35, для воды  = 0,60, а для влажного кирпича  = 1,0 Вт(мК). Этот эффект может быть объяснен конвективным переносом теплоты вследствие капиллярного движения воды внутри пористого материала и частично тем, что абсорбционно связанная влага имеет иные характеристики по сравнению со свободной водой. Увеличение коэффициента теплопроводности зернистых материалов с ростом температуры можно объяснить тем, что с повышением температуры возрастает теплопроводность среды, заполняющей промежутки между зернами, а также увеличивается теплопередача излучением зернистого массива.

Коэффициенты теплопроводности строительных и теплоизоляционных материалов имеют значения, лежащие примерно в пределах от 0,023 до 3,0 Вт(мК). Материалы с низким значением коэффициента теплопроводности (меньше 0,25 Вт(мК)), обычно применяемые для тепловой изоляции, называются теплоизоляционными.

Коэффициент теплопроводности  газов лежит в пределах от 0,006 до 0,6 Вт(мК). Теплопроводность газов возрастает с повышением температуры. Это объясняется тем, что скорость перемещения молекул газа с повышением температуры возрастает. Среди газов резко отличаются своим высоким коэффициентом теплопроводности гелий и водород. Коэффициент теплопроводности у них в 5-10 раз больше, чем у других газов. Молекулы гелия и водорода обладают малой массой, а следовательно, имеют большую среднюю скорость перемещения, чем и объясняется их высокий коэффициент теплопроводности. Коэффициент теплопроводности капельных жидкостей лежит примерно в пределах от 0,07 до 0,7 Вт(мК). Опыты подтверждают, что для большинства жидкостей с повышением температуры коэффициент теплопроводности  убывает, исключение составляют вода и глицерин. При повышении давления коэффициенты теплопроводности жидкостей возрастают.

Значение коэффициента теплопроводности λ для различных материалов имеет следующий порядок, Вт/(м·град) (рис.3):

Газов	0,005... 0,5
Капельных жидкостей	0,08 ...0,7
Теплоизоляционных материалов	менее 0,2
Строительных материалов	0,02 ...3,0
Металлов	20 ...410

Рисунок 3 – Значения коэффициентов теплопроводности различных веществ

В технических же расчетах значения коэффициента теплопроводности обычно выбираются по справочным таблицам. При этом необходимо следить, чтобы физические характеристики материала (структура, плотность, влажность) соответствовали. В связи с тем, что тела могут иметь различную температуру, а при наличии теплообмена и в самом теле температура будет распределена неравномерно, то в первую очередь важно знать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры.

Для большого числа твердых тел эта зависимость оказывается почти линейной: (6)

где λ₀- коэффициент теплопроводности при 0 °С;

b - постоянная для данного материала, определяемая опытным путем.

Для большинства металлов b<0, т.е. теплопроводность уменьшается с увеличением температуры. Для большинства неметаллов b > 0, т.е. теплопроводность увеличивается с увеличением температуры.

В случае твердых пористых тел с порами, заполненными воздухом, теплопроводность можно представить эмпирическим уравнением Якоба:

(7)

где λ_ТВ- теплопроводность твердой фазы;

ε - пористость тела.

Большинство методов определения коэффициента теплопроводности основано на законах протекания процесса при стационарном режиме. Основные из этих методов: метод плиты, метод шара, метод нагретой нити (для определения коэффициента теплопроводности жидкости и газа) и метод трубы.