8.8. Скорость звука

Для описания влияния давления на волновые движения необходимо связать градиент давления со скоростью движения вещества. Это делается так же, как и в обычной тео- теории распространения звука. Пренебрегая диссипативными процессами, считают, что изменение состояния вещества происходит по адиабатическому закону

откуда

(27.1)

(27.3)

где γ — показатель адиабаты. Связь между изменениями концентрации n и скоростиv дается уравнением непрерывности

(27.3)

которое в линейном приближении сводится к

(27.4)

Здесь n’ — возмущение концентрации; n — невозмущенная концентрация. Для плоской волны вида expi[(kr)—ωt] из уравнения (27.4) получим

(27.5)

Если невозмущенная концентрация постоянна в пространстве, то

(27.6)

и тогда из соотношения (27.2) получим

(27.7)

Это уравнение решается совместно с уравнениями движения. Поскольку мы пренебрегаем взаимодействием между ионами и электронами, уравнения (27.1)—(27.7) могут применяться отдельно как к ионам, так и к электронам. При этом подразумевается, что плазма совершенно неизотермична — температуры ионов и электронов меняются независимо.

Для газа из нейтральных частиц уравнение (27.7) решается совместно с линеаризованным уравнением Эйлера

(27.8)

которое для плоской волны дает

(27.9)

Если выразить отсюда v и подставить в уравнение (27.7), то для продольных волн (k || v) получится дисперсионное уравнение

(27.10)

Здесь u — обычная скорость звука. По аналогии удобно ввести ионную и электронную скорости звука, определив их соотношениями

(27.11)

(27.12)

где T_i и Т_е — ионная и электронная температуры в энергетических единицах. Тогда уравнение (27.2) для ионов и электронов можно записать в виде

(27.13)

(27.14)

и уравнение (27.7) — в виде

(27.15)

(27.16)

Допустим, что в плазме могут распространяться обычные звуковые волны, для которых разделением зарядов и электрическими токами можно пренебречь. Это значит, что электроны и ионы должны иметь одинаковые упорядоченные скорости

v_i=v_e=v (27.17)

Тогда сложение уравнений (27.15) и (27.16) даст с учетом условия электронейтральности (n_е=Zn_i) для общего давления

(27.18)

Этот результат можно записать в виде, аналогичном уравнению (27.15),

(27.19)

если определить скорость звука u_з соотношением

(27.20)

Это так называемая скорость ионного звука (в отличие от ионной скорости звука u_i).Она определяется «суммарной» температурой электронов и ионов T_i + ZT_e и массой ионов. Электронная температура входит с множителем Z, потому что это число электронов на один ион. В каких условиях в плазме реально могут распространяться звуковые волны без разделения зарядов, будет видно из дальнейшего. Но уже сейчас мы можем сказать, что скорость их должна определяться формулой (27.20).

8.9. Плазменные волны и ионный звук

Рассмотрим сначала продольные волны без магнитного поля. Продольными волнами называются такие, у которых скорости движения частиц направлены вдоль волнового вектора, т. е. k(kv) = k²v. Уравнения движения (26.1) и (26.2) для продольных волн без магнитного поля с учетом соотношений (27.15) и (27.16) принимают вид

(28.1)

(28.2)

Отсюда видно, что в рассматриваемом случае и электрическое поле также направлено вдоль волнового вектора. Эти уравнения решаются совместно с уравнением

(28.3)

где q — плотность электрического заряда

q = e(Zn_i — n_e) (28.4)

Поскольку невозмущенные концентрации удовлетворяют условию электронейтральности, то в уравнение (28.4) входят только возмущения концентраций, выражаемые формулой (27.5), откуда для продольных волн

(28.5)

Этот результат выражает закон сохранения электрического заряда

(28.6)

Подстановка выражения (28.5) в уравнение (28.3) дает для продольной плоской волны

(28.7)

или с учетом условия квазинейтральности(26.3)

(28.8)

Подстановка этого выражения в уравнения (28.1) и (28.2) приводит к системе уравнений для скоростей электронов и ионов

(28.9)

(28.10)

Определитель этой системы дает дисперсионное уравнение для продольных волн в плазме без магнитного поля

(28.11)

Здесь ω₀ — электронная плазменная частота. Заметим, что величина

(28.12)

есть квадрат ионной плазменной частоты. Если расположить уравнение (28.11) по степеням частоты волны, то получим

(28.13)

Если отвлечься от частного случая, когда уравнения (28.13) близки по величине, это уравнение определяет две отдельные ветви колебаний. Высокочастотная или электронная ветвь получается, если пренебречь свободным членом. Дисперсионное уравнение при этом принимает вид

(28.14)

Практически без ограничения общности можно считать, что электронная скорость звука гораздо выше ионной, и тогда

(28.14а)

Сюда входят величины, относящиеся только к электронам, что и оправдывает наименование «электронная ветвь». Множитель (1 + Zm/M) при квадрате электронной плазменной частоты столь близок к единице, что его можно не учитывать. Частота колебаний на этой ветви всегда выше электронной плазменной частоты, а скорость распространения волн больше каждой из скоростей звука (электронной и ионной). С понижением температуры плазмы или с возрастанием длины волны колебания высокочастотной ветви стремятся к электростатическим колебаниям холодной плазмы с фиксированной частотой ω₀, которые принято называть плазменными колебаниями. Соответственно волны высокочастотной ветви называются плазменными волнами. Иногда их именуют также электрозвуковыми.

Низкочастотная или ионная ветвь получается, если в уравнении (28.13) отбросить член ω⁴. Тогда дисперсионное уравнение принимает вид

(28.15)

Для длинных волн (k→0) дисперсионное уравнение ионной ветви стремится к

(28.16)

Это отвечает скорости распространения ионного звука (27.20). Для коротких волн (k→∞) предельный вид будет

(28.17)

так как электронная скорость звука гораздо больше ионной. Для коротких волн фазовые скорости как электронной, так и ионной ветвей стремятся к соответствующим скоростям звука, т. е. близки к средним скоростям теплового движения. При этом колебания быстро затухают по причине фазового резонанса с частицами, у которых скорость теплового движения равна фазовой скорости волны. Реальное значение имеют длинноволновые колебания. При этом электронная ветвь имеет частоту, близкую к плазменной (но всегда выше ее). Скорость же распространения ионного звука выражается формулой (27.20). Если электронная температура значительно выше ионной, то скорость ионного звука ниже тепловых скоростей электронов, но выше тепловых скоростей ионов, и возможно распространение без быстрого затухания. В случае холодных ионов (T_i→0) дисперсионное уравнение ионной ветви переходит в

(28.18)

Своеобразный результат получается, если выполнены неравенства

(28.19)

Эти неравенства совместимы, если T_i<<ZT_e. При этом ионная ветвь переходит в колебания с фиксированной частотой

(28.20)

Как видно из формулы (28.12), это — ионная плазменная частота. Таким образом, в области, определяемой неравенствами (28.19), возможны электростатические колебания холодных ионов на однородном электронном фоне, размазанном тепловым движением.

Все рассмотренные виды продольных волн могут распространяться также и при наличии магнитного поля, если направление распространения параллельно силовым линиям магнитного поля. Магнитное поле не влияет на распространение продольных волн вдоль своего направления.

Как видно из предыдущего, при рассмотрении продольных волн неправильно было бы заранее опускать члены порядка отношения массы электрона к массе иона, т. е. пользоваться уравнениемдля плотности тока в форме (26.8). Поэтому мы и исходили непосредственно из уравнений движения электронов и ионов.