4.3. Движение частиц в магнитном поле н0

Если все силы, кроме магнитного поля, отсутствуют, то уравнение движения (6.1) запишемв виде

(6.3)

Решение этого уравнения зависит, как и в случае электрического шля, отвида правой части. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Частица (электрон или ион) с некоторой скоростью u_j влетает в однородное постоянное магнитное поле напряженностью H₀. Необходимо определить закон ее движения.

Разложим полную скорость движения частицы в магнитном поле на две компоненты: u_пр– вдоль поля, u_пер – перпендикулярную к нему:

(6.13)

Из уравнения (6.12) следует, что

(6.14)

Следовательно,

(6.15)

т. е. частица вдоль поля движется равномерно. Для другой компоненты

(6.16)

Скорость изменения вектора u_перперпендикулярна вектору. В связи с этим изменение этого вектора во времени можно пред­ставить как вращение с некоторой угловой скоростью ω_j

(6.17)

Отсюда

(6.18)

Частица равномерно вращается вокруг направления Н₀ с угловой скоростью ω_j, называемой циклотронной или ларморовской частотой, по окружности с ларморовским радиусом,

(6.19)

Д ля положительно заряженной частицы угловая скорость ω_jнаправлена против Н₀, для электронов — по вектору Н₀(рис. 3). Из-за большой разности в массах электронов и ионов радиусы их ларморовских окружностей отличаются друг от друга на много порядков.

Периоды обращения по ларморовским окружностям

(6.20)

Кроме вращения, частица движется поступательно со скоростьюu_пр, следовательно, полное ее движение происходит по винтовой линии, которая навивается на силовую линию поляН_о. Шагэтой винтовой линии

(6.21)

При увеличенииН_о, как видно из выражений (6.19) и (6.21), уменьшается радиус ларморовской окружности и шаг винтовой линии, но линейная скорость при этом не меняется.

Циклотронное вращение в постоянном однородном магнитном поле сохраняет свой вращательный момент (момент количества движения)

(6.22)

где W_⊥– кинетическая энергия циклотронного вращения

(6.23)

Следовательно, и

(6.24)

Величина W_⊥/H₀ равна магнитному моменту вращающегося в магнитном поле заряда. В самом деле, движение заряда по ларморовской окружности можно рассматривать как круговой ток

(6.25)

его магнитный момент

(6.26)

где S — площадь ларморовской окружности.

Пример 2. Теперь рассмотрим, что произойдет, если частица влетает в медленно изменяющееся (во времени) магнитное поле.

Под таким полем мы будем подразумевать поле, в котором за один оборот по ларморовской окружности радиус ее почти не меняется:

(6.27)

Покажем, что и в этом случае магнитный момент приблизительно сохраняет свою величину (в этом случае его называют адиабатическим инвариантом).

Если магнитное поле представляет собой функцию времени, то, как известно, возникает вихревое электрическое поле, циркуляция которого по замкнутому контуру не что иное, как электродвижущая сила (э. д. с).

(6.28)

где Е_l—напряженность электрического поля вдоль ларморовскойокружности, по которой производится интегрирование; φ— магнитный поток через площадь ларморовского круга.

Изменение энергии циклотронного вращения по времени, учитывая выражения (6.24) и (6.27), равно

(6.29)

При медленном изменении магнитного поля величину можно вынести за знак дифференцирования:

(6.30)

Перепишем выражение (6.24) в виде

(6.31)

и продифференцируем его по времени:

(6.32)

Если сравнить это выражение сполученным ранее непосредственно из энергетических соображений (6.30), то сразу становится очевидным равенство нулю второго члена

Магнитный поток Ф, пронизывающий циклотронную орбиту, Также остается неизменным в процессе движения

.(6.33)