Ответы на экзаменационные вопросы / Ответы на экзаменационные вопросы по математической логике

Приведённая формула — формула, в которой из логических символов имеются только символы конъюнкции , дизъюнкции и отрицания ¬ , причём отрицание встречается лишь перед символом предиката.

Нормальная формула — формула, в которой все кванторы стоят в начале или отсутствуют.

Теорема (о существовании равносильной приведённой формулы для любой формулы). Для любой формулы в ИП существует равносильная ей приведённая формула, причём множества свободных и связанных переменных этих двух формул совпадают.

Теорема (о существовании равносильной нормальной формулы для любой приведённой). Для любой приведённой формулы существует равносильная ей нормальная формула, причём длины обоих формул совпадают.

Из этих двух теорем сразу же следует общая теорема.

Теорема (о существовании равносильной приведённой нормальной формулы для любой формулы). Для любой формулы в ИП существует равносильная ей приведённая нормальная формула.

17. Выполнимость и общезначимость формул ИП. Общезначимость формул

( ) ( ), ( ) ( ).

Формула в ИП называется выполнимой, если существует хотя бы одна интерпретация, в которой выполнима (принимает истинное значение).

Пример. : ( ) ¬ ( ) ≡ 0 в любой интерпретации невыполнима.

Формула в ИП называется выполнимой в данной интерпретации , если существует хотя бы один набор 1, 2, … , , значений свободных переменных формулы такой, что эта формула принимает значение 1: | 1,2,…, = 1.

Формула в ИП называется истинной в данной интерпретации , если она принимает значение 1 на любом наборе 1, 2, … , , значений своих свободных переменных.

Формула в ИП называется общезначимой или тождественно-истинной, если она истинна в любой возможной интерпретации.

Пример 1. : ( ) ¬ ( ) ≡ 1 в любой интерпретации, то есть эта формула общезначима. Этот логический закон называется «закон исключённого третьего».

Пример 2. Пусть ( , , ): < на множестве {1,2,3}3 , то есть на {1,2,3} × {1,2,3} × {1,2,3}. Рассмотрим формулу ( )( ) ( , , ). Эта формула выполнима, например, при = 3. Действительно:

= 1 3 1 < 32 = 2

= 2 3 2 < 32 = 2

= 3 3 3 < 33 = 3

Однако, если = 1, то ( )( )(1 < 1 ) не выполнима, так как при любых нетакой , что 1 < 1 .

Делаем вывод: формула не общезначима.

Теорема. Формула общезначима тогда и только тогда, когда ¬ — невыполнима и формула выполнима тогда и только тогда, когда ¬ не является общезначимой.

Действительно, если ≡ 1, то ¬ = 0, то есть невыполнима.

Если ≡ 1 в какой-то интерпретации, то есть выполнима, то ¬ = 0 в этой интерпретации, то есть не является общезначимой.

Замечание. Очевидно, что если и равносильные в ИП формулы, то формула ≡

— общезначимая формула, что позволяет получать новые общезначимые формулы. Докажем общезначимость некоторых формул.

Теорема 1. Пусть ( ) формула в ИП, в которой — свободная переменная, а не входит в формулу ( ) (но мы считаем, что и берутся из одной и той же интерпретации). Тогда формула ( )( ) ( ) общезначима.

Действительно, если формула ( ) ( ) при каких-то конкретных значениях свободных переменных (в любой возможной интерпретации) принимает значение 0, то формула ( )( ) ( ) принимает значение 1. Если же ( )( ) принимает значение 1, то очевидно, и ( ) также принимает значение 1. Таким образом, формула ( )( ) ( ) в любой возможной интерпретации всегда принимает значение 1, то есть она общезначима.

Теорема 2. Пусть ( ) формула в ИП, в которой — свободная переменная, а не входит в формулу ( ) (но мы считаем, что и берутся из одной и той же интерпретации). Тогда формула ( ) ( ) ( ) общезначима.

Действительно, если ( ) = 0, то формула ( ) ( ) принимает значение 1 в силу свойства импликации. Если же для какого-то (при конкретном наборе других свободных переменных) ( ) = 1, то и формула ( ) также примет значение 1 и, значит, формула ( ) ( ) будет истинной, а значит и общезначимой.

Покажем, что общезначимость формулы теоремы 2 есть следствие общезначимости формулы теоремы 1.

Подставим в формулу теоремы 1 вместо — ¬:

( )(¬( )) ¬ ( ) ≡ | ≡ ¬ | ≡ ¬( )(¬( )) ¬ ( )

≡ ( )(¬¬( )) ¬ ( ) ≡ ¬ ( ) ( )( ) ≡ ( ) ( )( )

Теорема 3. Пусть — тождественно-истинная формула ИВ, 1, 2, … , — набор её переменных. Если вместо каждой переменной подставить формулы логики ИП так, чтобы не нарушались пункты 1-4 определения формулы ИП, то получим общезначимую формулу ИП.

Задача распознавания общезначимости формул ИП существенно сложнее, чем формул ИВ. Действительно, в ИВ можно по таблицам истинности установить тождественную истинность.

В ИП неприменим метод перебора всех вариантов наборов переменных, так как их может быть ∞ много (если интерпретаций ∞). В общем случае эта так называемая «проблема разрешимости» в ИП неразрешима.

Теорема Чёрча. Не существует алгоритма, который для любой формулы логики предикатов устанавливает, логически общезначима формула или нет.

Однако в некоторых частных случаях, например, если рассматривать только одноместные предикаты, эта проблема разрешима, то есть существует алгоритм распознавания общезначимости формулы. Такая логика, в которой употребляются только одноместные предикаты, была описана ещё Аристотелем.

Поэтому в ИП выделение общезначимых формул осуществляется путём указания некоторой совокупности формул (аксиом) и правил вывода, позволяющих из общезначимых формул получать общезначимые.

18. Аксиомы ИП. Общезначимость аксиом ИП. Правила вывода ИП. Оформление ИП как ФАТ

Аксиомы ИП (для любых формул ИП , , ):

А1. ( ).

А2. ( ( )) (( ) ( )). А3. (¬ ¬) ((¬ ) ).

А4. ( ) ( ) ( ), где формула ( ) не содержит переменной . А5. ( ) ( ) ( ), где формула ( ) не содержит переменной . Первые три аксиомы аналогичны аксиомам ИВ.

Теорема. Все аксиомы ИП — общезначимые формулы. Для аксиом А1, А2 и А3 это следует из теории ИВ. Для аксиом А4 и А5 — это следует из доказанных теорем для

( ) ( ) и для ( ) ( ) (см. 17-ый вопрос).

Правила вывода:

1.Правило modus ponens (. .): , B.

2.Правило связывания квантором всеобщности ( не содержит ):

( ) B ( ) ( )

3.Правило связывания квантором существования ( не содержит ):

( ) ( ) ( )

4.Правило переименования связанной переменной. Связанную переменную формулы (в кванторе и во всех вхождениях в области действия квантора) можно обозначить другой переменной, не являющейся свободной переменной формулы .

Понятия вывода, теоремы, вывода из системы гипотез определяются в ИП так же, как

ив любой аксиоматической теории (ФАТ). Теорема (ослабленная теорема дедукции).

Если , и существует вывод в ИП, построенный с применением только правила . ., то . Доказательство аналогично доказательству теоремы дедукции ИВ.

19. Теорема об общезначимости формул ИП, получающихся из общезначимых по любому из 4-х правил вывода ИП

Предложение. Формула, получающаяся из общезначимой формулы с помощью правил вывода 1-4, является общезначимой.

Доказательство.

1) Для правила вывода 1 (. .) наше утверждение следует из свойств импликации.

2)Рассмотрим правило вывода 2 ( ( ) ( ) ( )). Пусть ( ) — общезначимая формула. Докажем, что формула ( ) ( ) тоже общезначима. Возможны два случая.

a)на произвольном наборе своих свободных переменных принимает значение 1 (истина). Тогда по свойству импликации 1 ( ) ≡ 1, то есть ( ) ≡ 1, то есть ( ) ( ) ≡ 1 . Отсюда следует, что на любом наборе аргументов формулы : ( ) ( ) ≡ 1.

b)на каком-то наборе своих свободных переменных принимает значение 0

(ложь), но тогда ( ) ( ) = 1, то есть в любом случае B ( ) ( ) ≡ 1.

3)Рассмотрим правило вывода 3 (( ) ( ) ( ) ). Пусть формула ( )

общезначима. Докажем, что и формула ( ) ( ) также общезначима.

a)Если формула ( ) ( ) (для каких-то значений свободных переменных) принимает значение 0, то для этих значений свободных переменных по свойству импликации формула ( ) ( ) принимает значение 1.

b)Если же ( ) ( ) (для каких-то значений свободных переменных) принимает значение 1 и так как ( ) общезначима, то принимает значение 1 и,

значит, формула ( ) ( ) принимает значение 1, следовательно, ( ) ( ) ≡ 1, то есть эта формула общезначима.

4)То, что правило вывода 4 сохраняет общезначимость, очевидно из свойств кванторов.

Так как аксиомы исчисления предикатов — общезначимые формулы (см. 18-ый вопрос) и формула, получающаяся из общезначимой формулы с помощью правил вывода 1-4, является общезначимой (как показано выше), то любая выводимая из аксиом формула в ИП является общезначимой.

20. Полнота и непротиворечивость ИП. Теорема Гёделя. Тезис Чёрча

Так как аксиомы исчисления предикатов — общезначимые формулы (см. 18-ый вопрос) и формула, получающаяся из общезначимой формулы с помощью правил вывода 1-4, является общезначимой (см. 19-ый вопрос), то любая выводимая из аксиом формула в ИП является общезначимой.

Знаменитый немецкий математик-логик Курт Гёдель доказал и обратное утверждение.

Теорема (о выводимости формул в ИП). Формула в ИП выводима (из аксиом), если

итолько если она общезначима. То есть выводимость в ИП общезначимость. Из этой теоремы сразу же следует.

Теорема (о непротиворечивости). Исчисление предикатов — непротиворечивая теория. Непротиворечивая, так как не могут быть одновременно общезначимы (то есть тождественно истинны в любой возможной интерпретации) формулы и ¬.

Теорема Гёделя (о полноте исчисления предикатов). Всякая общезначимая формула выводима в исчислении предикатов.

Таким образом, в ИП формула выводима (из аксиом) тогда и только тогда, когда она общезначима. Однако не существует алгоритма, позволяющего определить общезначимость любой формулы. Это связано с тем обстоятельством, что

интерпретация предикатов может содержать бесконечные возможные значения переменных.

21. Алгоритмы. Определение (интуитивное) алгоритма. Свойства алгоритмов. Направления поисков точного определения алгоритма. Вычислимые функции.

Проблема алгоритмической неразрешимости

Алгоритм — (интуитивное определение) общая определенная последовательность элементарных действий, приводящая к решению любой задачи из данной массовой проблемы.

Слово «алгоритм» происходит от имени узбекского математика XIII века Абу ал Хорезми. Оно претерпело эволюцию: ал Хорезми – ал Горезми – алгоритм.

Примеры алгоритмов:

•Алгоритм Эвклида (правило отыскания наибольшего общего делителя).

•Правило отыскания решений квадратного уравнения.

•Правило отыскания производной от многочлена степени.

•Правило интегрирования рациональных дробей.

Вкаждом из приведённых примеров приходится иметь дело с классом однотипных задач, или, как говорят, с массовой проблемой. Задачи такого класса отличаются друг от друга значениями входящих в них параметров.

Свойства алгоритмов:

•Дискретность — изначально задаётся исходная конечная система величин (параметров), и на каждом следующем шаге система величин получается по определенному закону из системы величин, имевшихся на предыдущем шаге.

•Детерминированность (определённость) — система величин, получаемых на каком-то шаге, однозначно определяется системой величин, полученных на предыдущем шаге.

•Элементарность каждого шага — решение задачи разбивается на этапы, каждый из которых должен быть простым.

•Результативность (направленность) — последовательный процесс построения системы величин должен быть конечным и давать результат, то есть решение задачи.

•Массовость — начальная система величин может выбираться из некоторого потенциально бесконечного множества (то есть алгоритм служит не для решения какой-то одной задачи, а для целого класса однотипных задач).

Для того, чтобы доказать существование алгоритма, достаточно дать описание фактического процесса, решающего задачу и здесь достаточно интуитивного понятия алгоритма.

Если же нужно доказать, что алгоритм решения такой задачи не существует, то нужно знать точно, что такое алгоритм, то есть знать строгое математическое определение алгоритма.

В 30-е годы 20-го века шли интенсивные поиски строгого определения понятия алгоритма. В подходе к решению этой задачи были выделены три основных направления:

1.Первое направление связано с уточнением понятия вычислимой функции (Чёрч, Гёдель, Клини). В результате был выделен класс так называемых частично-

рекурсивных функций, имеющих строгое математическое определение. Такие функции вычислимы, то есть существует алгоритм для их вычисления; если же функция не принадлежит к этому классу, то не существует алгоритма её вычисления (не надо его и искать).

2.Второе направление связано с машинной математикой путём рассмотрения процессов, осуществляемых машиной (Пост, Тьюринг). Впервые это сделали независимо друг от друга Тьюринг и Пост (1937). Это направление часто называют машиной Тьюринга. Программа для такой машины и есть алгоритм вычисления так называемой тьюринговой функции. Если же функция не является тьюринговой, то не существует алгоритма её вычисления.

3.Третье направление рассматривает алгоритм как преобразование слов в некотором алфавите, при этом элементарными операциями являются подстановки, то есть замены части слова другим словом. Такие алгоритмы носят название «нормальных» алгоритмов. Они разработаны А. А. Марковым.

Иуже в конце 20-го века разработаны так называемые нейронные сети — тоже строгое математическое определение алгоритма.

В дальнейшем будем рассматривать так называемые числовые функции, то есть функции, аргументы и значения которых принадлежат множеству натуральных чисел с нулём 0: {0, 1, 2, 3, … } . Если число аргументов , то область определения таких функций декартово произведение 0 × 0 × … × 0 = 0 , а область значений — 0.

Вычислимые функции — числовые функции, значения которых можно вычислить посредством некоторого алгоритма.

Например, sin не является числовой вычислимой функцией, так как хотя бы sin 1 даже на интуитивном уровне не вычислить машине точно, сколько знаков не брать.

22. Рекурсивные функции. 3 простейших ПРФ (примитивно-рекурсивных функций). Оператор суперпозиции. Примеры

Рекурсивные (рекуррентные) функции — это такие функции, значения которых можно вычислить для + 1, если можно вычислить до , то есть каждое последующее значение вычисляется, если известны предыдущие.

Пример — числа Фибоначчи — последовательность чисел ( ), удовлетворяющая условиям:

(0) = 1, (1) = 1, ( + 2) = ( ) + ( + 1), то есть 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Рекурсивные функции разбиваются на два класса:

1.Примитивно-рекурсивные.

2.Частично-рекурсивные.

Если функция частично-рекурсивная, то она и примитивно-рекурсивная. Обратное неверно. То есть класс частично-рекурсивных функция больше, так как включает в себя все примитивно-рекурсивные функции.

Введём три простейшие рекурсивные функции, которые по определению считаются примитивно-рекурсивными (ПРФ).

1.( ) = 0 — нуль-функция, оператор аннулирования.

2.( ) = + 1 — прибавление 1, функция Пеано, оператор сдвига.

проектирования. В частности, 1( ) = — простейшая ПРФ.

Очевидно, что эти три функции всюду определены (на 0) и вычислимы.

Оператор суперпозиции (получение сложной функции, или «функции от

( 1, … , ) = ( 1( 1, … , ), … , ( 1, … , ))

То есть в функцию вместо подставили ( 1, … , ).

Смысл оператора: если можно у вычислимой функции вычислить аргументы по формулам ( ), то и саму функцию также можно вычислить. То есть вычислимая сложная функция тоже вычислима.

Например, с помощью этого оператора можно получить из простейших рекурсивных функций следующие функции:

( ( )) = (0) = 1

( ( ( ))) = ( (0)) = (1) = 2

( ( ( ))) = ( ( + 1)) = ( + 2) = + 3

1( ( + 1)) = 1( + 2) = + 2

23. Оператор ПР (примитивной рекурсии). Доказать, что функции + , ,

( 1, … , , + 1) = ( 1, … , , , ( 1, … , , ))

В это случае говорят: «рекурсия проводится по ».

При = 0 функция одного аргумента ( ) получается примитивной рекурсией по из = = и функции двух переменных ( , ) следующим образом:

(0) = = , ( + 1) = ( , ( ))

При = 1 функция двух аргументов ( , ) получается примитивной рекурсией поиз ( ) и функции трех переменных ( , , ) следующим образом:

( , 0) = ( ), ( , + 1) = ( , , ( , ))

При = 2 функция трех аргументов ( , , ) получается примитивной рекурсией поиз ( , ) и функции четырёх переменных ( , , , ) следующим образом:

( , , 0) = ( , ), ( , , + 1) = ( , , , ( , , ))

Обычно рекурсию проводят по последнему аргументу, но всегда можно переставить аргументы с помощью оператора суперпозиции.

Функция ( , … , ) называется примитивно-рекурсивной (ПРФ), если она может быть получена с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии, применённых к простейшим функциям

( ), ( ), ( 1, … , ).

Замечание 1. Очевидно, что для получения ПРФ функции, участвующие в схеме ПРФ и , должны быть тоже ПРФ.

Замечание 2. Очевидно, что ПРФ от переменных определена на пространстве 0 .

Замечание 3. Если про некоторые функции известно, что они ПРФ, то операторы можно применить к ним, а не доходить каждый раз до простейших.

Замечание 4. Если ( 1, 2) — ПРФ, то ( 2, 1) — тоже ПРФ, так как получена из( 1, 2) оператором суперпозиции.

Докажем, что следующие функции — ПРФ:

0, если = 0

Эта функция получается по схеме примитивной рекурсии:

(0) = = 0 = ( )

{ ( + 1) = ( , ( )) = = 12( , ( ))

Где 12( , ( )) — функция-проектор (всегда выбирает ), ПРФ.

− , если ≥ 4. ( , ) = −̇ = { 0, если < .

Эта функция получается по схеме примитивной рекурсии:

{ ( , + 1) = ( , , ( , )) = ( , )−̇1

Где ( , , ) = −̇1 — ПРФ (доказано выше).

5. ( , ) = | − | = ( −̇ ) + ( −̇ ). Если ≥ , то | − | = − + 0. Если ≥ , то | − | = 0 + − .

− , ≥ То есть | − | = { − , ≥ .

Очевидно, что функция ( , ) = | − | — ПРФ как сумма двух ПРФ. Примитивно-рекурсивные функции определены для всех значений аргументов из 0 .

24.Оператор минимизации. Частично-рекурсивные функции. Доказать, что

− , ≥

÷ = {не определена, < — ЧРФ. Точное определение алгоритма. Тезис

Чёрча

ПРФ — примитивно-рекурсивная функция, определена для всех значений аргументов (каждый из аргументов пробегает свои значения независимо от других). Иногда это является недостатком, в том смысле, что вычислимая функция на самом деле не является ПРФ из-за того, что определена не для всех значений аргументов. Напомним, что и аргументы вычислимой функции, и сама функция принимают только неотрицательные целочисленные значения.

Но такие функции не могут быть ПРФ. Поэтому требуется ввести ещё один оператор.

Оператор минимизации ( -оператор).

Пусть имеется функция ( 1, … , , ) и пусть 1, 2, … , — фиксированы, тогда возможны 3 случая:

1.При любых : ( 1, … , , ) ≠ 0 . В этом случае будем считать, что оператор минимизации ( ) = ( 1, … , ) не определен в точке ( 1, … , ).

2.( 1, … , , 0) = 0. Тогда ( ) = ( 1, … , ) = 0.

3.Пусть — наименьший корень уравнения ( 1, … , , ) = 0 (где 1, … , — фиксированы). Тогда возможны 2 случая:

a.( 1, … , , − 1), ( 1, … , , − 2), … , ( 1, … , , 0) ≠ 0 и определены, тогда ( ) = ( 1, … , ) = .

b.Среди ( 1, … , , − 1), ( 1, … , , − 2), … , ( 1, … , , 0) есть хотя бы одно неопределённое значение, тогда ( ) = ( 1, … , ) тоже не определен.

1.Вычисляем ( 1, … , , 0). Если равно 0, то ( ) = 0. Если же не равно 0, то переходим следующему шагу.

2.Вычисляем ( 1, … , , 1). Если равно 0, то ( ) = 1. Если же не равно 0, то

переходим к следующему шагу ( ( 1, … , , 2)) и так далее.

Если ( ) ( 1, … , , ) ≠ 0 или на каком-то шаге значение ( 1, … , , ) не определено, то ( ) считаем неопределенным.

Частично-рекурсивная функция — функция, которая может быть получена с помощью применения конечного числа раз 3-х операторов (суперпозиции,

Таким образом мы доказали, что ( , ) получена оператором минимизации из ПРФ, и поэтому является частично-рекурсивной функцией.

Общерекурсивная функция — частично-рекурсивная функция, которая определена при всех возможных значениях аргументов.

Тезис Чёрча. Любая частично-рекурсивная функция является вычислимой, то есть существует алгоритм для её вычисления, и, наоборот, любая вычислимая функция есть частично-рекурсивная функция.

Этот тезис нельзя доказать, так как он связывает строгое математическое понятие частично-рекурсивной функции с нестрогим математическим понятием вычислимой функции, но его можно опровергнуть, если построить пример функции вычислимой, но не являющейся частично-рекурсивной. Однако, до сих пор такой функции не найдено.

Первое строгое определение алгоритма:

Всякий алгоритм — есть процесс вычисления частично-рекурсивной функции. Если функция не частично-рекурсивная алгоритма для её вычисления нет.