22. Дивергенция вектора а (вектора скорости V и вектора вихря rot V). Соленоидальное поле вектора а (вектора скорости V и вектора вихря rot V ) и его свойства.

23. Теорема Гаусса-Остроградского для потока вектора а (вектора скорости v и вектора вихря rot v ). Ее следствия для случая div а - 0 (div v = 0 и div rot v = 0 ). Первая теоре­ма Гельмгольца о вихрях.

24. Интеграл вектора а (вектора скорости v и вектора вихря rot v) вдоль незамкну­той и замкнутой линии. Циркуляция вектора а (вектора скорости v и вектора вихря rot v). Предельная циркуляция вектора а (вектора скорости v и вектора вихря rot v ). Теорема Стокса и ее следствие для невихревого поля.

25. Две задачи вихревого течения. Формула Био-Савара.

Элементы кинематики вихревого движения жидкости

Поступательному движению жидкости часто сопутствует вихревое движение, вы­званное вращением элементарного объёма жидкости вокруг некоторой оси Такое враще­ние жидкости называется вихрем; угловая скорость этого элементарного объёма является основной характеристикой вихря Касательная в любой точке вектора вихря - вихревая линия Поверхность образованная вихревыми линиями, проведенными через точки замк­нутого контура, называется вихревой трубкой Прямолинейную вихревую трубку с беско­нечно малой площадью сечения можно рассматривать как вращающийся твердый ци­линдр, окружная скорость которого пропорциональна радиусу. Кинематической характе­ристикой вихревого течения жидкости является циркуляция скорости, которая служит ме­рой завихренности.

5

где: Г - циркуляция вектора скорости,

ui- проекция вектора скорости на касательную к этому контуру в i-той точке

В тех случаях, когда вращение жидкости в определённых точках пространства про­исходит с постоянной скоростью и положение вихря с течением времени не меняется, то такое вихревое движение принято называть стационарным вихрем В иных случаях вихре­вое движение следует считать не стационарным.

26. Функция тока плоского течения. Гидродинамическая сетка.

27. Комплексный потенциал и комплексная скорость. Контурный интеграл от ком­плексной скорости.

28. Скорость, потенциал скорости, функция тока, линии тока и/эквипотенциальные линии плоского однородного поступательного потока.

29. Скорость, потенциал скорости, функция тока, линии тока и эквипотенциальные линии плоского источника (стока).

30. Скорость, потенциал скорости, функция тока, линии тока и эквипотенциальные линии плоского циркуляционного потока.

31. Скорость, потенциал скорости, функция тока, линии тока и эквипотенциальные линии плоского диполя.

32. Скорость, потенциал скорости, функция тока и линии тока при обтекании кругово­го цилиндра с циркуляцией. Характерные случаи обтекания в зависимости от величины цир­куляции.

33. Уравнение неразрывности в дифференциальной и интегральной форме. Его физи­ческий смысл. Уравнение расхода.

Уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости

При течении газов, особенно при больших скоростях, их плотность может заметно, а то и значительно, меняться во времени и в пространстве. Ясно, что объем втекающей жидкости может не быть равным объему вытекающей жидкости через поверхность кубика, изображенного на рис. 3.11. Если такого равенства нет, то масса газа внутри кубика (а с ней и плотность) будут со временем меняться. Уравнение (3.24) в этом случае становится несправедливым. Однако и здесь можно записать уравнение неразрывности, основная идея вывода которого базируется на балансе массы газа, составляющего физическую суть равенства (3.1). Поток массы газа через площадку dSбудет равен. Тогда полный поток массы газа через боковую поверхность элемента объема dxdydz, аналогично (3.27), равен

(3.32)

где - новое векторное поле. Если этот поток положительный, то масса внутри элементабудет убывать за счет уменьшения во времени плотности . Поэтому, записывая условие баланса массы в виде

(3.33)

мы получаем (после сокращения на dxdydz) одно из фундаментальных уравнений гидродинамики - уравнение неразрывности сжимаемой жидкости:

(3.34)

Следует отметить, что при =const это уравнение переходит в (3.24).

Рис. 3.11.

В электродинамике это уравнение является также фундаментальным. В самом деле, если речь идет о движущихся зарядах, объемная плотность которых равна , то уравнение (3.34) является математическим выражением универсального закона сохранения заряда.

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока (струйки) в единицу времени. Количество жидкости можно задать объемом, массой или весом. Соответственно и расходы бывают объемный Q, массовый Q_m и весовой Q_G.

Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площади живых сечений, можно считать скорость жидкости в любой точке сечения одинаковой. Тогда

dQ = V dS; dQ_m= dQ = V dS; dQ_G= g dQ_m= gV dS,

где dS – площадь живого сечения струйки.

Для потока конечных размеров скорость в различных точках сечения будет различной, поэтому расход следует определять как сумму элементарных расходов струек

Но это чисто теоретическая формула, воспользоваться ей для определения расхода проблематично. Обычно вводят в рассмотрение среднюю по сечению скорость потока, которую можно найти по измерянному расходу

, откуда Q = V_cpS.

Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о неразрывности (сплошности) потока и на свойстве непроницаемости трубки тока, для стационарного течения несжимаемой жидкости можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки один и тот же:

dQ = V₁ dS₁ = V₂ dS₂ = const (вдоль струйки).

Это уравнение объемного расхода для элементарной струйки.

Аналогичное уравнение можно записать и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, только скорости следует брать средние

Q = V_ср1 S₁ = V_сp2 S₂ = const (вдоль потока).

Из последнего уравнения следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям живых сечений:

Уравнение расхода – это частный случай закона сохранения вещества для условий неразрывности потока.

34. Напряженное состояние движущейся идеальной жидкости. Адиабатичность тече­ния идеальной жидкости.