63. Дайте определение нелинейной системе автоматического управления.

К нелинейным системам автоматического управления относятся такие системы, в которых связь между выходной и входной величинами одного или нескольких основных элементов задается нелинейными уравнениями.

В общем случае каждая система автоматического управления имеет те или иные нелинейности, однако часто эти нелинейности влияют столь незначитель­но, что поведение системы с достаточной точностью может быть описано только линейными дифференциальными уравнениями. Нелинейные уравнения про­цессов в такой системе заменяют приближенными линейными уравнениями и исследуют систему как линейную.

Вопрос о возможности линеаризации уравнений или процессов в системе решают исходя из требования точности расчетов. Часто решение этого вопроса зависит от того, при каких отклонениях переменных величин работает система.

Одну и ту же систему в зависимости от конкретных условий работы, а также от принятой степени идеализации процессов, протекающих в ней, можно рассматривать как линей­ную и как нелинейную. Однако какие же системы в теории автоматического управления относятся к нелинейным? Это такие системы, которые нельзя рассматривать как линейные даже при малых отклонениях переменных, иначе говоря, такие системы, которые име­ют существенно нелинейные характе­ристики.

Сущесmвенно нелинейными называ­ются такие характеристики, которые в некоторых тачках рабочего интервала неоднозначны, терпят разрыв или во­обще не существуют.

Системы с существенно нелинейны­ми элементами линеаризовать методами, рассмотренными при рассмотрении линейных систем, невозможно. Если ограничиться линеаризацией в тех точках, где она допу­стима, и попытаться анализировать систему как линейную во всем рабочем диапазоне, то можно получить неверные результаты.

Нелинейные системы классифицируют по виду существенно нелинейных элементов, входящих в систему. Следовательно, классификация нелинейных систем сводится к классификации существенно нелинейных характеристик элементов.

64. Проклассифицируйте нелинейные система по способам аппроксимации.

К наиболее распространенным способам аппроксимации нелинейных элементов относят следующие:

• полиномиальная аппроксимация ─ представление нелинейной характеристики с помощью степенного ряда,

• кусочно-линейная аппроксимация ─ представление аппроксимируемой функции отрезками прямых линий,

• аппроксимация с помощью различных видов трансцендентных функций.

Полиномиальная аппроксимация. Если любая из нелинейных характеристик задана аналитическим выражением, то в окрестности рабочей точки функция может быть представлена разложением в ряд Тейлора ( в окрестности точки х₀)

или

, (3.16)

где R – остаток в разложении в ряд Тейлора, которым пренебрегают при аппроксимации.

Если же характеристика задана графически (рис.3.9), то аппроксимацию можно осуществить укороченным степенным рядом (полином), ограничивая его второй - пятой степенью

. (3.17)

Р ис.3.9. Графическое представление нелинейной характеристики

Для определения коэффициентов а_k требуем, чтобы при значениях переменной x_k в левой части полинома (3.17) получались значения функции y_k.

Составляем систему уравнений:

, где  . (3.18)

В этой системе уравнений y_n, у₀, x_n, x₀ – известные величины, поэтому эту систему можно решить по методу Крамера, относительно коэффициентов a_k.

Если x=x₀+S (х₀ постоянное смещение, а S малый сигнал), то

, (3.19)

где α – дифференциальный параметр нелинейного элемента. Таким образом, можно отметить, что первый коэффициент a₁полиномиальной аппроксимации нелинейной характеристики (3.17) совпадает с дифференциальным параметром нелинейного элемента. Кроме того отметим, что если х=0 лежит внутри интервала (х₅-х₁) аппроксимации нелинейной характеристики полиномом, то коэффициент а₀ определяет значение функции в начале координат (т.е. если мы рассматриваем в качестве нелинейной характеристики i=φ(u), то коэффициент а₀=i(0) определяется как значение тока при u=0.

Кусочно-линейная аппроксимация. Кусочно-линейная аппроксимация основана на замене реальной характеристики нелинейного элемента отдельными участками, которые заменяются отрезками прямых линий (рис.3.10).

Р ис.3.10. Кусочно-линейная аппроксимация нелинейного элемента

Точность кусочно-линейного приближения зависит от количества интервалов, заменяемых отрезками прямых в заданном интервале использования кусочно-линейной аппроксимации. Чем на большее количество отрезков прямых разбит интервал, для которого мы применяем кусочно-линейное приближение, тем выше точность совпадения с реальной нелинейной характеристикой, но при этом сушественно усложняется анализ колебаний в такой системе. Для упрощения расчетов желательно ограничиваться минимальным количеством отрезков прямых, замещающих нелинейную характеристику. Например, динамическую проходную характеристику триода (рис.3.10) можно аппроксимировать с достаточной степенью точности всего лишь тремя отрезками прямых линий:

. (3.20)

Замена нелинейных участков характеристик нелинейных элементов отрезками прямых, прозволяет считать и сами характеристики линейными, а это значит, что применимы теперь все методы линейной теории цепей. На протяжении линейных участков нелинейные элементы заменяются на линейные, с характеристиками равными их дифференциальным величинам.

Аппроксимация нелинейных характеристик с помощью трансцендентных функций. Иногда характеристики нелинейных элементов аппроксимируют трансцендентными функциями рис.3.11. В качестве аппроксимирующих трансцендентных функций применяются экспоненты и их суммы, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические и другие функции. Например,

или  . (3.21)

Р ис.3.11. Примеры аппроксимации нелинейных характеристик

трансцендентными функциям