3. Вывод уравнений динамики и передаточных

ФУНКЦИЙ ОБЪЕКТА И ДРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ

При составлении дифференциальных уравнений звена:

а) определяют входную и выходную величины, а также дополнительные факторы, влияющие на состояние звена;

б) выбирают начало отсчета и систему координат;

в) вводят упрощения и допущения;

г) записывают уравнения, используя основные законы механики, электротехники, теплотехники, законы сохранения энергии и вещества, и разрешают эти уравнения относительно входных и выходных переменных.

Уравнения записываются в отклонениях от рабочего равновесного состояния. Линеаризация уравнений (разложение в ряд Тейлора и отбрасывание нелинейных членов разложения) и запись их в приращениях позволяют получить нулевые начальные условия.

3.1. Вывод передаточной функции резервуара

Входная величина – приток , м³/с.

Выходная величина – уровень H(t), м.

Возмущающее воздействие (нагрузка) – сток , м³/с.

Уравнение идеального баланса притока/расхода вещества, находящегося в баке (см. рис.1) имеет вид:

,

где S – площадь сечения резервуара, м².

Перейдем от разностного уравнения к дифференциальному

.

Разделим переменные .

Проинтегрировав левую и правую части, получим решение уравнения

.

Обозначим множитель как – коэффициент бака (см. табл.2), м^-2.

Запишем дифференциальное уравнение в операторной форме:

.

Найдем передаточные функции бака по управлению и возмущению:

,

.

3.2. Вывод передаточной функции двигателя постоянного тока с независимым возбуждением.

Рис. 4. Схема включения двигателя

Двигатель преобразует электрическую энергию в механическую (см. рис.4). Поэтому при выводе уравнений необходимо составлять баланс как электрической, так и механической энергий.

Входная величина – напряжение питания якорной цепи U_д, B. Выходная величина – угловая частота вращения якоря двигателя Ω, рад/с. Возмущающее воздействие – момент нагрузки на валу двигателя М_н , .

При изменении напряжения U_д изменяется ток в цепи якоря двигателя. Используя II закон Кирхгофа, записываем уравнение баланса электрической энергии:

,

где R_я, L_я – активное сопротивление и индуктивность якорной цепи;

E_д – противо-эдс якоря (эдс, наводимая в витках якоря при вращении

якоря в магнитном поле возбуждения).

Здесь – угловая скорость вращения двигателя, с^-1;

Ce – коэффициент ЭДС, равный ЭДС якоря, вращающегося со скоростью 1 рад/c при номинальном магнитном потоке возбуждения, Вс.

Уравнения механического равновесия записываем, используя II закон Ньютона для вращательного движения: ,

где J – угловой момент инерции вращающихся частей двигателя, Нмс²;

М_д – вращающий момент, развиваемый двигателем, Нм, он пропорционален току в якоре ;

См – коэффициент передачи двигателя по моменту, Нм/A.

М_н – момент нагрузки, представляет собой возмущающее воздействие.

Для вывода уравнения двигателя по управлению полагаем момент нагрузки М_н равным нулю (М_н=0).

Отсюда

Подставим в уравнение электрического баланса

.

Группируем выходной сигнал (t) в левой части уравнения, а входной сигнал U_д – справа.

.

Введем обозначения:

– электромеханическая постоянная времени двигателя, с;

– электромагнитная постоянная времени двигателя, с;

– коэффициент передачи двигателя по скорости, 1/(Вс).

Теперь уравнение двигателя получает вид:

.

Переходим к операторной форме:

.

Отсюда можем записать передаточную функцию двигателя по управлению

,

В случае малости электромагнитной постоянной времени двигателя ею можно пренебречь (в задании указано L_я =0 и, следовательно, Те = 0), двигатель описывается уравнением I порядка

с передаточной функцией .

Теперь учтем при выводе наличие момента нагрузки М_н

. Отсюда .

Подставим в уравнение электрического баланса

.

Группируем выходной сигнал (t) в левой части уравнения, а входные сигналы Uд и М_н – в правой.

.

Используя введенные ранее обозначения Те, Тм, Кду, а также

– коэффициент передачи двигателя по нагрузке, , записываем уравнение двигателя в операторной форме

.

При М_н = 0 приходим к полученному ранее уравнению и передаточной функции двигателя по управлению Wду(p).

При U_д = 0 получаем уравнение двигателя по возмущению

.

Передаточная функция двигателя по возмущению

.

Отдельно рассмотрим динамическую модель двигателя при использовании датчика тока (вариант 5). Вернемся к уравнению электрического баланса:

,

перенесем противоЭДС в правую сторону уравнения

и перейдем к операторной форме

.

Вынесем за скобку в левой части R_я:

Получим передаточную функцию

,

где .

На основании этого уравнения построим структурную схему системы управления для вариантов 5.х (рис. 4).

Рис.5. Структурная схема системы управления для варианта 5.х