47. Остаток ряда. Сходимость ряда и его остатка.
Определение
1.3: Ряд
называется
сходящимся,
если последовательность частичных сумм
имеет предел, т.е.
Здесь называется суммой ряда.
Если же не существует (в частности ), то говорят, чторяд расходится.
.
48.Необходимы признак сходимости ряда. Сходимость гармонического ряда.
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при , т.е. .
Кратко: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.
Доказательство. Пусть ряд сходится и его сумма равна . Для любого частичная сумма
.
Тогда .
Из доказанного необходимого признака сходимости вытекает достаточный признак расходимости ряда: если при общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
Решение
Для этого ряда общий член и .
Следовательно, данный ряд расходится.
Проверим гармонический ряд на сходимость: Общий член гармонического ряда стремится к 0.
Это показывает, что необходимое условие сходимости ряда выполняется. Для доказательства сходимости гармонического ряда будем использовать критерий Коши. По критерию Коши для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы:
В качестве выберем и . Тогда:
Из этого следует что гармонический ряд не удовлетворяет критерию Коши. Иначе говоря гармонический ряд расходится. 50. Критерий Коши сходимость числовой последовательности и числового ряда. Теорема 13.1. (критерий Коши для ряда). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для для "e > 0 нашелся номер N такой, что для всех n ³ N и для всех натуральных p
. (2)
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что величина под знаком модуля в неравенстве (2) равна разности частичных сумм .
Критерий Коши сходимости последовательности
Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство
Необходимость:
Пусть последовательность имеет конечный предел. Докажем, что она является фундаментальной. Пусть по определению предела последовательности:
Поскольку произвольное, то мы можем взять вместо него, к примеру, : То есть: , а значит, — фундаментальная по определению. Необходимость доказана.
Достаточность:
Пусть — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. Сначала покажем, что — ограничена. Поскольку — фундаментальная последовательность, то по определению фундаментальной последовательности: и
Так как произвольное, то возьмем
— ограничена.
По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность
Пусть , покажем, что число aa и будет пределом всей последовательности : Поскольку фундаментальная:
Так как сходящаяся: Возьмём , тогда:
Достаточность доказана.
51. Критерий сходимости положительного ряда. Признак сравнения. Критерий сходимости положительных рядов — основной признак сходимости положительных числовых рядов.
Формулировка
Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм S ( n ) ограничена сверху. |
Доказательство
Необходимое условие
Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано
Достаточное условие
Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность частичных сумм неубывающая: S n + 1 − S n = a n + 1 {\displaystyle S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}}
Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).
Первый признак сравнения
Пусть заданы два положительных ряда ∑n=1∞un и ∑n=1∞vn. Если начиная с некоторого номера n0 выполнено неравенство un≤vn, то:
если ряд ∑n=1∞un расходится, то ряд ∑n=1∞vn будет расходящимся.
если ряд ∑n=1∞vn сходится, то ряд ∑n=1∞un будет сходящимся.
Второй признак сравнения
Пусть заданы два положительных ряда ∑n=1∞un и ∑n=1∞vn. Если при условии vn≠0 существует предел
limn→∞unvn=K,
где 0<K<∞, то ряды ∑n=1∞un и ∑n=1∞vn сходятся либо расходятся одновременно.
Теорема 2 (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от 0, предел то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
По определению предела последовательности для всех n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого выполняется неравенство , или
. (5)
Если ряд (1) сходится, то из левого равенства (5) и теоремы 1 вытекает, что ряд также сходится. Но тогда, согласно свойству 1 числовых рядов, ряд (2) расходится.
Если ряд (1) расходится, то из правого неравенства (5), теоремы 1, свойства 1 вытекает, что и ряд (2) расходится.
Аналогично, если ряд (2) сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд (1).