39. Вычисление площади поверхности тел вращения. Рассмотрим поверхность, образованную вращением вокруг оси графика функции , заданной на отрезке .

Найдём площадь малого элемента поверхности   . Площадь   приблизительно равна площади усечённого конуса, в основании которого круги радиуса   и   , а образующая равна   . Площадь поверхности усеченного конуса с радиусом малого основания   , радиусом большого основания   и длиной образующей     вычисляется по формуле   . Поэтому   . Отсюда   , так как слагаемое   , которое является бесконечно малой более высокого порядка, чем остальные слагаемые, можно отбросить. Для разных случаев задания кривой дифференциал длины дуги   записывается по-разному.

Если кривая задана явно, то   и

 – площадь поверхности вращения кривой, заданной явно уравнением   ,   .

В случае, если кривая задана параметрическими уравнениями

 , то

 – площадь поверхности вращения кривой, заданной параметрическими уравнениями.

 – площадь поверхности вращения кривой, заданной в полярных координатах уравнением   .

40. Общая схема применения определенного интеграла Римана к вычислению геометрических, механических и физических величин. Приложение определенного интеграла к физике. Геометрический смысл определенного интеграла как площади криволинейной трапеции дает возможность применить его к вычислению любых площадей.

1. Вычислим интеграл:  . 2. По геометрическому смыслу интеграл является алгебраической суммой площадей нижнего и верхнего треугольников.

3. Здесь знак модуля обеспечивает безусловную положительность результатов и соответствие физическому смыслу. Таким образом, общая формула для вычисления площади с применением определенного интеграла будет иметь вид

 , где   - число подинтервалов, на которые разбивается площадь под кривой   ;   - абсциссы начала и конца подинтервала.

Определение площади следует производить в два этапа. На первом решается уравнение   и находится число подинтервалов. На втором этапе применяется формула площади. Рекомендуется выполнить эскиз расчетной области. В трудных случаях можно использовать графическое разложение сложной фигуры на сумму более простых.

Схема решения физических задач с использованием определенного интеграла

• А) сделать чертеж, соответствующий условию задачи,

• Б) выбрать систему координат,

• В) выбрать независимую переменную,

• Г) выбрать формулу классической физики, соответствующую условию задачи,

• Д) найти дифференциал искомой величины на основании этой формулы,

• Е) установить промежуток интегрирования,

• Ж) вычислить интеграл, т.е. найти искомую величину.

42. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная сходимость и условная сходимость. Признаки сходимости.

Теорема 1 (критерий Коши). Несобственный интеграл   сходится тогда и только тогда, когда для любого   существует такое   , что для всех   и   , удовлетворяющих условию   ,   , выполняется неравенство   .

► Положим   . Сходимость интеграла   означает существование конечного предела функции   при   . Согласно критерию Коши существования предела   необходимо и достаточно, чтобы для любого   нашлось такое   , что для всех   и   , удовлетворяющих условию   ,   , выполняется неравенство

 .

Поскольку   ,

то получаем   . ◄

Пусть дан несобственный интеграл  :

• интеграл   называется абсолютно сходящимся, если сходится  ;

• интеграл   называется условно сходящимся, если интеграл   сходится, а    — расходится.

В случае абсолютной сходимости интеграла   говорят, что функция  абсолютно интегрируема на полусегменте  .

Признак сравнения 1 (без доказательства).Пусть на промежутке   функции   и   непрерывны и удовлетворяют неравенствам   . Тогда:

1) если интеграл   сходится, то сходится и интеграл   ;

2) если интеграл   расходится, то расходится и интеграл   .

Признак сравнения 2 (без доказательства).Пусть на промежутке   функции   и   непрерывны и удовлетворяют неравенствам   . Тогда, если существует конечный и отличный от нуля предел

 ,

то несобственные интегралы   и   оба сходятся или оба расходятся.

43. Несобственный интеграл от неограниченной функции. Определение. Несобственным интегралом   от функции у=f(x) на промежутке   называется предел   , т.е.

 . (15)

Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции   непрерывной, но не ограниченной на промежутке   :

 . (16)

Если функция   не ограничена при   , где   , и непрерывна при   и   , то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке   обозначается   и определяется равенством

 . (17)

Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).  В противном случае данный интеграл называется расходящимся. 44. Приближенное вычисление интегралов Римана. Приближенное вычисление интегралов       Формула средних прямоугольников 

     Формула трапеций 

 Формула Симпсона 

45. Числовой ряд и его сходимость. Сходимость ряда, составленного из членов геом. Прогрессии. Определение 1. Если члены числовой последовательности (an) соединить знаком +, то полученное формальное выражение а1+а2+а3+…+an+… называется числовым рядом. Определение 2. Сумма первых п членов числового ряда называетсяn-ой частичной суммой ряда и обозначается S_n=а₁+а₂+а₃+…+a_n .

По определению имеем S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S₃=a₁+a₂+a₃ и т.д. . Возникает новая числовая последовательность (S_n).

Определение 3. Если последовательность (S_n) частичных сумм числового ряда сходится к некоторому числуSR, то этот числовой ряд называется сходящимся.

Определение 4. Если числовой ряд сходится, то число называетсясуммой числового ряда и пишут S=илиS=a₁+a₂+a₃+…+а_n+... .

Ряд, образованный геометрической прогрессией

 

Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии. Напомним, что геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю и называемое знаменателем этой прогрессии. Геометрическая прогрессия имеет вид:

а ряд, составленный из ее членов:

Такой ряд называется геометрическим рядом, но иногда для краткости его называют просто геометрической прогрессией. Название «геометрическая» прогрессия получила потому, что каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов:

 , или   .

 

Теорема. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

 (1.13)

расходится при   и сходится при   , причём при   сумма ряда

 (1.14)

Доказательство. Общий член ряда, как и общий член геометрической прогрессии, имеет вид:   .

1) Если   , то   , т.к. в этом случае   – бесконечно большая величина.

2) При   ряд ведёт себя по-разному, т.к. приобретает различные виды.

При     ;

 , т.к. предел константы равен самой константе. Т.к. по условию теоремы   , общий член ряда не стремится к нулю.

При     ; предела не существует.

Таким образом, при   не выполняется необходимое условие сходимости ряда:

 .

Следовательно, ряд (1.13) расходится.

3) Если   , то прогрессия называется бесконечно убывающей. Из школьного курса известно, что n-ю частичную сумму ряда (1.13) можно представить в виде:

 . (1.15)

Найдём сумму ряда. Так как при     (бесконечно малая величина), то

 .

Таким образом, при   ряд (1.13) сходится и имеет сумму, равную

 . (1.16)

Это и есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 46. Действия над рядами. Теорема о действии над рядами.

Теорема: Линейная комбинация абсолютно сходящихся рядов является абсолютно сходящимся рядом.

Доказательство: Если ряды  и абсолютно сходится, а , то сходится и ряд . Отсюда в силу неравенств , по признаку сравнения следует сходимость ряда , т. е. абсолютная сходимость ряда .

Если ряд абсолютно сходится, то любой ряд  , составленный из тех же членов, что и данный ряд, но взятый в другом порядке также абсолютно сходится и имеет ту же сумму

Если ряды  , абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов этих рядов, также абсолютно сходится, причем его суммаsравна произведению сумм данных рядов: если , , то , т. е. абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать почленно.