34. Интегрирование по частям в опрделенном интеграле. Пусть - две функции, непрерывные со своими первыми производными на сегменте [а, b]

Возьмем дифференциал от их произведения: 

Интегрируя это тождество в пределах от а до b, получим 

Но по формуле Ньютона—Лейбница

Таким образом, равенство (32) примет следующий вид: 

откуда

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Так как   то формулу (33) можно записать в следующем более компактном виде:

При этом следует иметь в виду, что границы интегрирования относятся к независимой переменной  35. Замена переменной в определенном интеграле Теорема 2. Пусть функции   и φ(t) удовлетворяют условиям:

1. функция   непрерывна на отрезке [a, b];

2. функция φ(t) и ее производная непрерывны на отрезке   причем 

3) .

Тогда:

. (*)

Доказательство. Функция   непрерывна на [a, b], следовательно, у нее существует первообразная F(x):  .Функция  непрерывна на  , следовательно, имеет первообразную G(t), которая имеет вид G(t)=F(φ(t)), ибо

К определенным интегралам из формулы (*) применим основную формулу интегрального исчисления:

.

Однако, последняя разность в силу условия 3) равна  . Это и доказывает формулу (*).

36. Вычисление площадей фигур в декартовых координатах и полярных. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную прямыми

x=a, x=b, y=0 и кривой y=f(x), где f(x) ³ 0.

Как известно, площадь такой криволинейной трапеции выражается через определенный интеграл: S = 

Напомним, что определением интеграла служит предел интегральных сумм, взятый при условии измельчения разбиения отрезка интегрирования. Этим определением мы воспользуемся для нахождения площади в следующем случае.

Пусть на плоскости фиксирована система полярных координат: полярными координатами точки  служат два числа ( --полярный радиус,  --полярный угол).

.

Уравнение, задающее зависимость величины  от полярного угла ,

задаёт некоторую линию на плоскости. Будем предполагать, что функция  непрерывна при . Рассмотрим область на плоскости, расположенную между выходящими из начала координат лучами и и линией

При неограниченном измельчении разбиения  , то есть при условии , эта интегральная сумма будет стремиться к площади области . С другой стороны, предел интегральных сумм для функции даст определённый интеграл от этой функции. Таким образом, получаем формулу площади:

Более кратко эту формулу можно записать так:

(6.3)

где имеется в виду, что вместо полярного радиуса  нужно подставить его выражение через полярный угол для зависимости, график которой ограничивает область снаружи.

37. Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла. Принцип Кавальери. Вычисление обьема тел вращения. Заключим тело  , объём которого нужно найти между двумя параллельными плоскостями   и  .

ведём систему координат так, чтобы ось  , абсциссы точек пересечения оси   с плоскостями   и   обозначим буквами   и  . Пусть  .

Пересечём наше тело произвольной плоскостью, перпендикулярной к оси  . Фигура   – полученная в сечении тела плоскостью является либо кругом либо многоугольником для любого   из отрезка  . В граничных точках сечение может вырождаться в точку, как, например, в нашем случае при  .

Обозначим площадь фигуры   за  . Предположим, что   – это непрерывная функция на числовом отрезке  .

Разобьём числовой отрезок   на   равных отрезков.

Длина каждого отрезка равна  .

Через точки с абсциссами   проведём плоскости, перпендикулярные к оси  . Тогда наше тело   разобьётся на   тел  ,  , …,  .

Высота каждого из этих тел равна  .

Если фигура   – круг, то объём тела   приближённо равен объёму цилиндра, с основанием   и высотой  .

Если же в сечении – многоугольник, то объём тела   приближённо равен объёму прямой призмы с основанием   и высотой  .

Каждый из этих объёмов равен произведению площади основания на высоту  . Тогда объём всего тела равен сумме этих объёмов  . Чем больше  , тем точнее приближённое значение 

объёма всего тела и меньше  .

Без доказательства примем, что объём тела   равен  .

С другой стороны, сумма   является интегральной суммой для непрерывной функции   на числовом отрезке  , поэтому можно записать, что предел  .

Тогда получим, что объем тела   равен 

ПРИНЦИП КАВАЛЬЕРИ Два кубируемых тела   (рис. 44), ограниченные параллельными плоскостями, имеют равные объемы, если плоские сечения, параллельные указанным плоскостям и проведенные на одинаковых расстояниях от оснований, имеют равные площади.

Доказательство. Обозначим через   объем тела   а через   — объем тела   Так как тела   кубируемы, то

По условию   значит, 

38. Вычисление длины дуги гладкой кривой. Если кривая y = f (x) на отрезке [a, b] является гладкой (т.е. производная   ─ непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами x = a и x = b, вычисляется по формуле

.

В том случае, когда кривая задана уравнениями в параметрической форме  ( ─ непрерывно-дифференцируемые функции), длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению параметраt от α до β, вычисляется по формуле

.

Если, наконец, кривая задана уравнением в полярных координатах  , то длина дуги кривой при изменении полярного угла от до , находится по формуле

.