- •3. Дифф высших порядков. Применение дифф в приближенных значениях. Дифференциалы высших порядков (как и старшие производные) определяются индуктивно.
- •7.Теоремы Коши и Лагранжа. Теорема Лагранжа
- •12. Выпуклые функции. Условия выпуклости. Направление выпуклости графика функции.
- •14. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Определение.
- •Наклонные асимптоты
- •19. Интегрирование методом замены переменных. Метод замены переменной
- •20. Интегрирование рациональных функций.
- •21. Подстановки Эйлера. Три подстановки Эйлера
- •24. Интегрирование трансцендентных функций ( r(sinx, cosx)) Интеграл вида рационализируется подстановкой Действительно,
- •Интеграл Римана
- •25. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 1.Задача о вычислении площади произвольной криволинейной трапеции.
- •30. Основные свойства определенного интеграла. Свойства определенного интеграла
- •34. Интегрирование по частям в опрделенном интеграле. Пусть - две функции, непрерывные со своими первыми производными на сегменте [а, b]
- •36. Вычисление площадей фигур в декартовых координатах и полярных. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную прямыми
- •39. Вычисление площади поверхности тел вращения. Рассмотрим поверхность, образованную вращением вокруг оси графика функции , заданной на отрезке .
- •42. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная сходимость и условная сходимость. Признаки сходимости.
- •47. Остаток ряда. Сходимость ряда и его остатка.
- •48.Необходимы признак сходимости ряда. Сходимость гармонического ряда.
- •52. Принцип сравнения рядов. 53. Признаки Даламбера и Коши сходимости положительного ряда.
- •54. Интегральный признак сходимости 55 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •56 Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды.
- •57. Теорема Римана Теорема Римана.
- •58 . Сходимость функциональных последовательностей и рядов
- •59. Равномерная сходимость. Необх. И дост. Признак сход.
- •61 Предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций.
- •62 Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
30. Основные свойства определенного интеграла. Свойства определенного интеграла
Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].
1.
2.
где k - константа
3.
4.
5. если
для всех
то
6.
7.
8. если
в интервале [a, b], то
31. Теорема о среднем и оценки интеграла от непрерывной функции Теорема 1 (об оценке определенного интеграла). Значение определенного интеграла заключено между произведениями наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования, т.е.
m(b-a)< <M(b-a), a<b,
где m и M- соответственно наименьшее и набольшее значения функции f(x) в интервале a;b.
Теорема 3 (о среднем). Внутри интервала интегрирования a;b существует хотя бы одно значение x=,, для которого
.
32. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной функции. До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Если x ∈ [a,b], то функция f(x) также интегрируема на любом отрезке [a, x]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [a, b], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл
с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф(x):
Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t, так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования. Интеграл (8) называется интегралом с переменным верхним пределом.
3. Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу Теорема 2. Если функция f непрерывна во всех точках некоторого промежутка , то на этом промежутке у нее существует первообразная; при этом если x0 - какая-либо точка рассматриваемого промежутка , то функция
f(t)dt, x , |
(25.7) |
является одной из первообразных функций f на промежутке . Достаточно проверить, что функция (25.7) действительно является первообразной функции f. Если x > x0, x , то равенство F'(x) = f(x) сразу следует из теоремы 1. Если же x < x0, x , то
33. Формула Ньютона Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: .
Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.
Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство .
Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства: где .
Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как , где С – произвольная постоянная.
Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла: , следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b): , то есть . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .