24. Интегрирование трансцендентных функций ( r(sinx, cosx)) Интеграл вида рационализируется подстановкой Действительно,

4. Интеграл вида  рационализируется подстановкой Действительно,

Интеграл Римана

Задача о поиске площади криволинейной трапеции приводит к понятию определенного интеграла. Криволинейная трапеция ограничена осью Ох, непрерывной функцией y=f(x), прямыми x=a и x=b, т.е. трапеция расположена над осью Ох. Разделим основание трапеции  интервал a,b на n частичных интервалов x₀,x₁,x₁,x₂,…,x_n-1,x_n, где a=x₀x₁x₂…x_n-1x_n=b.

25. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 1.Задача о вычислении площади произвольной криволинейной трапеции.

Задача о вычислении пути при переменной скорости движения.

 

Пусть некоторая материальная точка движения по некоторой траектории с известной в каждый момент времени  переменной скоростью  Требуется получить формулу для пути  (перемещения), пройденного точкой по траектории своего движения с некоторого данного момента времени  до некоторого данного момента времени  .

Задача о нахождении работы переменной силы

 

Пусть по оси ох из точки a в точку b под действием заданной переменной силы  движется материальная точка (точка приложения силы  ) - см. рис. 3.  Требуется вывести формулу для работы А, которую совершит сила F(x) при перемещении материальной точки х из положения а в положение b.

4.Задача о нахождении объема производства при заданной производительности труда

 

Пусть функция  описывает изменение производительности труда рабочего, бригады или целого предприятия с течением времени  . Требуется найти формулу для объема  произведенной продукции с момента времени  до момента времени  , где  и  - заданные числа.

26. Интегрируемость функции и определенный интеграл. Нижние и верхние суммы ограниченной функции. Свойства сумм Дарбу. Определение 28.1: Множество точек отрезка   таких, что:   называют разбиением отрезка  . Длины частичных отрезков разбиения обозначим:  . Мелкостью разбиения  (читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е.  .

Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех   точки  . Интегральной суммой функции   на отрезке   с разбиением   будем называть сумму (зависящую от разбиения   и выбора точек  ) вида:  .

Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции   на отрезке   назовём такое число  , что  . Обозначается:  .

Определение 28.4: Функция   называется интегрируемой на отрезке  , если существует конечный предел её интегнральных сумм на  . Обозначается:  .

Теорема 28.1: Если   интегрируема на отрезке  , то она ограничена на нём.

Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b] представляет предел интегральной суммы

lim∑f(k_i)Δx_i ( от i=1 до n и Δx→0)

где k_i — произвольная точка соответствующего отрезка.

Формула Ньютона — Лейбница

где F′ — первообразная функцию f(x), т е

F′(x)=f(x)

Некоторые свойства определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f₁(x) и у = = f₂(x) [ f'₂(x)≥f₁(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,

Итак, пусть функция   — ограничена на   и существует разбиение этого отрезка  . Это значит, что   — ограничена на любом    . Отсюда, по второй теореме Вейtрштрасса,      .

Итак, пусть мы выбрали какое-то конкретное разбиение отрезка    на n частей. Теперь выберем на каждой из этих частей промежуточные точки   так, чтобы сумма площадей получившихся прямоугольников была минимальной. (см. задачу о вычислении площади криволинейной трапеции)

Построим интегральную сумму следующим способом: на каждом интервале   разбиения T точку   будем выбирать так, чтобы получался прямоугольник минимальной площади, т.е. чтобы высота   была наименьшей. Наименьшую высоту нам как раз и даст операция  :  Интегральная сумма, построенная на таких прямоугольниках, очевидно, есть самая маленькая из всевозможных сумм, получаемых на данном разбиении. Эта сумма называется нижней суммой Дарбу.

Точно так же можно построить и наибольшую для данного разбиения сумму: на каждом из интервалов   разбиения T мы выбираем точку   так, чтобы значение   было максимальным:  . Этим значениям соответствует интегральная сумма, называемая верхней суммой Дарбу. Теперь дадим более строгое определение.

Определение

 — верхняя сумма Дарбу

 — нижняя сумма Дарбу

Замечание

Суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек 

Свойство  . 

Для любой выборки   и разбиения   справедливы неравенства:  .  (*)

Доказательство	скрыть
Так как   выполняются неравенства  . Домножим все части на  . Перейдя к сумме в каждой части неравенства, получаем:  (**) Вывод: согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы   утверждения (*) и (**) равносильны.

Свойство  .

При T — фиксированном, справедливы равенства:    .

Докажем первое равенство. Необходимо показать, что   — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы (см. опр. точной верхней и нижней границ множества). Т.е. нужно показать следующее:  :  .  (*) Т.к.  , то : Домножим на  : Просуммируем i- ые элементы:  (**) Неравенства (*) и (**) равносильны. Вывод: получили, что    — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы  . Аналогично доказывается второе утверждение.

Свойство  .

Для любых разбиений   и   справедливо неравенство  .

Определение

Назовём разбиение   продолжением (измельчением) разбиения  , если каждая точка разбиения   является точкой разбиения  . Иначе говоря, разбиение   либо совпадает с разбиением  , либо получено из   добавлением по крайней мере одной новой точки.

Свойство  .

Если разбиение   — продолжение разбиения  , то   (*), то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

27. Необходимые и достаточные условия интегрируемости Условия интегрируемости функции на отрезке  – это условия существования определенного интеграла . При определении его как предела интегральной суммы предполагалось, что функция ограничена на отрезке .

Необходимое условие интегрируемости функции

Покажем, что условие ограниченности функций на отрезке  являетсянеобходимым условием интегрируемости функций, т.е. справедлива следующая теорема.

Т. Если  существует, то функция ограничена на отрезке .

Ограниченность является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции на отрезке  , Существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми.

Достаточные условия интегрируемости функции

Т. Если функция  непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует 

Т. Если функция  ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Т. Если функция  монотонна и ограничена на отрезке [a, b], то она интегрируема на [a, b].

28. Интегрируемость непрерывной функции. Теорема 1.Если функция   непрерывна на отрезке   , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует интеграл   .

►Ограниченность  на отрезке   следует из теоремы Вейерштрасса.

По теореме Кантора эта функция равномерно непрерывна на отрезке   . Значит, для любого   найдется такое   , что для любых   и   , принадлежащих отрезку   , из неравенства   следует неравенство   .

Возьмем такое разбиение   отрезка   на частичные отрезки   ,   , чтобы   . Тогда   из неравенства   выполняется неравенство

 .

Отсюда следует, что   .С учетом этого

   .

Значит,   и   ◄

Следствие 1. Если функция   ограничена на отрезке   и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

29. Интегрируемость монотонной функции . Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва. Теорема 2. Функция   , монотонная на отрезке   , то интегрируема на этом отрезке.

► Ограниченность  на отрезке   следует из свойств непрерывных функций.

Пусть   возрастает на отрезке   , т.е.   . Пусть   . Возьмем такое разбиение   отрезка   на частичные отрезки   ,   , чтобы

 .

В силу монотонности   имеем

 и   .

Тогда

   .

Следовательно,   . В силу критерия Дарбу 

Если f – ограничена на [a,b] и имеет конечное число точек разрыва, то f интегрируема на [a,b]

Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что у функции f на отрезке [a,b] лишь одна точка разрыва и этой точкой является a (см. рис. 9.6.1). Докажем, что для этой функции выполняется критерий интегрируемости Римана. Возьмем любое  , выберем точку такую, чтобы

На отрезке [ ] функцияf интегрируема как непрерывная, следовательно, по критерию интегрируемости, по заданному найдётся разбиение отрезка [ ], при котором

Если теперь рассмотреть разбиение  отрезка [a,b], то в силу (рис. 9.6.1) и (рис. 9.6.2)

Следовательно, по критерию интегрируемости, функция f интегрируема на [a,b].