19. Интегрирование методом замены переменных. Метод замены переменной

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x, переходим к другой переменной, которую обозначим как t. При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t), или t = t(x). Например,   x = ln t,   x = sin t,   t = 2x + 1, и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t, чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx:   .Пусть мы переходим к новой переменной t, выбрав некоторое соотношение x = x(t). Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t.

Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t, нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t).

Преобразование дифференциала выполняется так: . То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt.

Тогда .

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x). Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде  , где t′(x) – это производная t по x, то .

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах. (1)    , где x – это функция от t. (2)    , где t – это функция от x.

20. Интегрирование рациональных функций.

Для интегрирования рациональной функции P(x)Q(x), где P(x) и Q(x) − полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

21. Подстановки Эйлера. Три подстановки Эйлера

Рассмотрим интегралы, подынтегральное выражение которых является рациональной функцией от переменной интегрирования и квадратного корня из квадратного многочлена. 

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:   , при a > 0;   , при c > 0;   , где x1 – любой корень уравнения a x2 + b x + c = 0. Если это уравнение имеет действительные корни.

Также можно применять подстановки:   , при a > 0;   , при c > 0; которые отличаются изменением знака перед t.

Выбор подстановки Эйлера

Как видно, для вычисления интеграла, можно применять не одну подстановку Эйлера. Все они приводят к интегралу от рациональной функции. Выбор в пользу той или иной подстановки следует делать, чтобы упростить вычисления.

Так, если подынтегральное выражение содержит комбинацию  , то следует выбрать подстановку Эйлера: Поскольку в этом случае сразу получается более простое выражение:

А если подынтегральное выражение содержит комбинацию  , то следует выбрать подстановку Эйлера: Поскольку в этом случае:

Доказательство

Докажем, что подстановки Эйлера приводят к интегралу от рациональной функции.

1) a > 0

Пусть a > 0. Делаем подстановку: Возводим в квадрат. Вычитаем из обеих частей равенства ax 2 и преобразовываем. Отсюда видно, что x является рациональной функцией от t Также и дифференциал dx будет произведением рациональной функции от t на dt. И квадратный корень – тоже рациональная функция от t.

То есть, при такой подстановке, подынтегральное выражение будет рациональной функцией от переменной интегрирования t.

2) c > 0

Пусть c > 0. Делаем подстановку: Возводим в квадрат. Вычитаем из обеих частей равенства c и делим на x. Отсюда видно, что x является рациональной функцией от t Также и дифференциал dx будет произведением рациональной функции от t на dt. И квадратный корень – тоже рациональная функция от t.

То есть, при такой подстановке, подынтегральное выражение будет рациональной функцией от переменной интегрирования t.

3) Уравнение имеет действительные корни

Пусть уравнение a x2 + b x + c = 0 имеет действительные корни x1, x2. Тогда a x2 + b x + c = a(x – x1)(x – x2) Делаем подстановку: Возводим в квадрат. Делим на x – x1 и преобразовываем. Отсюда видно, что x является рациональной функцией от t Также и дифференциал dx будет произведением рациональной функции от t на dt. И квадратный корень – тоже рациональная функция от t.

То есть, при такой подстановке, подынтеграл

23. Подстановки Чебышева. Теорема Чебышева: Если  ,то интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции тогда и только тогда когда:

1°.  – целое; 2°.  –целое; 3°.  –целое.

и при этом следующие подстановки (Чебышева) сводят интегралы к интегралам от рациональных функций.

 ,где s – общий знаменатель дробей m и n,

, s – знаменатель дроби p,

 , s – знаменатель дроби p.