12. Выпуклые функции. Условия выпуклости. Направление выпуклости графика функции.

 Опр. 1. График функции  имеет на интервале выпуклость, направленную вниз, если он расположен не ниже любой касательной, проведённой на этом интервале.

 Опр.2. График функции  имеет на интервале выпуклость, направленную вверх, если он расположен не выше любой касательной, проведённой на этом интервале.

 Теор.1. (Достаточное условие выпуклости графика функции). Если функция  имеет на интервале вторую производную, и ( ) для , то её график имеет на этом интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).

 Док-во. Пусть, для определённости,  на . Пусть с - произвольная точка , докажем, что график функции лежит выше касательной, проведённой к нему в точке . Уравнение касательной: ( - текущая точка касательной).

По формуле Тейлора  . Вычитая из этого равенства предыдущее, получим на , т.е. точка графика функции действительно лежит выше точки графика касательной.

 Аналогично рассматривается случай  на .

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

13. Правило Лопиталя. Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность  типа  или .  Пустьa является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

• Если  и , то ;

• Если  и , то аналогично Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа  . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов. 

14. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Определение.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис.5.10). Асимптоты бывают вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные. Вертикальные асимптоты

Определение.

Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции  , если выполнено одно из условий:

или  (рис.5.11)

Горизонтальные асимптоты

Определение.

Если при  ( ) функция имеет конечный предел, равный числуb:

,

то прямая  есть горизонтальная асимптота графика функции .

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая  называетсянаклонной асимптотой графика функции  при ( ), если выполняется равенство

.

Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.

Для полного исследования функции и построения её графика рекомендуется использовать следующую схему:

1) найти область определения функции;

2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

4) исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);

5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6) определить интервалы выпуклости и точки перегиба;

7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением её графика. 15. Формула Тейлора. Разложение по формуле Тейлора элементарных функций. Символы «О» и «о». Формула Тейлора¹.

Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

.

Пусть  – любое фиксированное число. Полагая , получим:

. (19.1)

Запишем также в виде

, (19.2)

где  – числа, зависящие от и – коэффициенты разложения по степеням . Например, .

Из (19.1) не видно, что  от на самом деле не зависит. Найдём производные :

. (19.3)

Следующие производные равны нулю.

Полагая в формулах (19.2) и (19.3)  , получаем:

, , , , ,

то есть

. (19.4) Таким образом,

. (19.2*)

Это формула Тейлора для многочлена  по степеням .

Отметим, что правая часть (19.2*) фактически не зависит от  .

Найдем разложение функции   в окрестности точки   по формуле Тейлора:

 ,

 ,

 ,

 ,

 .

Таким образом, все производные четного порядка в точке   равны нулю, а производные нечетного порядка равны   или   . Следовательно, разложение примет вид:

 , где остаточный член в форме Лагранжа равен   . Используя полученное разложение, приближенно вычислим   . При вычислении ограничимся первыми двумя членами разложения:

 . Приведем разложения по формуле Тейлора в окрестности точки   некоторых элементарных функций:

 .

 .

 .

Формулу Тейлора при   также называют формулой Макларена. Пусть   и   — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки  , причем в этой окрестности   не обращается в ноль. Говорят, что:

•  является «О» большим от   при   и пишут  , если существует такая константа  , что для всех   из некоторой окрестности точки  имеет место неравенство  ;

•  является «о» маленьким от   при   и пишут  , если для любого   найдется такая проколотая окрестность   точки  , что для всех   имеет место неравенство  .

Иначе говоря, в первом случае отношение   в окрестности точки   ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при  , то есть функция   является бесконечно малой в сравнении с  .

16. Задача восстановления функции по ее производной. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные задачи математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, физике, технике приводят к обратной задаче: по данной функции f(x) найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором множестве X, если для всех значений x Î X справедливо равенство: F^'(x) = f(x).

Теорема. Всякие две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянную, определённую на одном и том же множестве X.

Доказательство

1) Пусть F₁(x) и F₂(x) – некоторые первообразные функции f(x), опре­деленные на промежутке X.

2) Введем вспомогательную функцию Ψ(x) = F₂(x)- F₁(x), и Ψ(x) – дифференцируема на X как производная разности двух дифференцируемых функций.

3) Причем, Ψ     .

4) На основании следствия к теореме Лагранжа функция Ψ(x) будет являться постоянной, так как её производная равна нулю на X, следовательно, Ψ(x) =C.

5) Поэтому Ψ(x) можно представить в виде Ψ(x) = F₂(x) - F₁(x) = C, следовательно, F₂(x) = F₁(x) + C.

ч.т.д.

Определение №1. Если функция F(x) –первообразная функции f(x) на промежутке X, то множество функции F(x)+C, где C – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x)на этом промежутке X и обозначается символом   =F(x)+C (читают: интеграл эф икс дэ икс), где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Символ   обозначает всю совокупность всех первообразных для f(x) на X. Но иногда будем понимать его как любой элемент из этой совокупности, т.е. как какую-нибудь из первообразных. Зная о том, что   =   , неопределенный интеграл   можно записать в других эквивалентных формах   .

Определение №2. Восстановлением функции по её производной или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции.

Интегрирование представляет собой операцию обратную дифференцированию. Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно, продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

17. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Свойство 1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

 и   .

Доказательство.

 ;

 .

Свойство 2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

 .

Доказательство.

 .

Свойство 3.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

 .

Доказательство.Прежде всего подчеркнем, что данное равенство имеет условный характер: его следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого, поскольку каждый из интегралов определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Действительно, пусть   – первообразная для функции   , т.е.   . Тогда   – первообразная для функции   , так как   . Отсюда следует, что

 ,

где   – произвольная постоянная.

Свойство 4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:

 .

Доказательство. Данное равенство (как и в предыдущем свойстве) следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого, поскольку каждый из интегралов определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Действительно, пусть   и   – первообразные для функций   и   соответственно, т.е.   . Тогда функция   является первообразной для функции   , так как

 .

Следовательно, 

где   – произвольная постоянная.

Отметим, что данное свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых функций.

Таблица основных интегралов

Приведем таблицу основных интегралов, которая непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием первообразных. Интегралы, содержащиеся в этой (или подобной ей) таблице, принято называть табличными.

Таблица интегралов в силу инвариантности формы дифференциала функции оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования   независимой переменной   или любой её дифференцируемой функцией (   ).

1.   .

2.   .

3.   .

4.   .

5.   .

6.   .

7.   .

8.   .

9.   .

10.   .

11.   .

12.   .

13.   .

14.   .

15.   .

16.   .

18. Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций. Известно, что интеграл от произведения функций не равен произведению интегралов, здесь существует более сложная зависимость.

Если u=u(x) и v=v(x) – две дифференцируемые функции от х, то по правилу дифференцирования произведения имеем

интегрируя обе части, получим:

Выразим отсюда один из интегралов, стоящих в правой части:

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде двух сомножителей u и dv, затем посленахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использоваться несколько раз.

Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1) Интегралы вида

Удобно положить u=P(x), а за dv обозначить все остальные сомножители.

2) Интегралы вида

Удобно положить dv=P(x)dx, а за u обозначить все остальные сомножители.

3) Интегралы вида

Удобно положить u=e^ax