7.Теоремы Коши и Лагранжа. Теорема Лагранжа

   Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство

f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение  хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))

y = f(a) + Q·(x - a),

где  есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды

F(x) = f(x) − f(a) − Q·(x − a).

Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует

.

И, наконец, f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

   Величина  является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M₁ (a; f(a)) и M₂(b; f (b)) графика функции у = f(x), a f ' (c) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (c; f (c)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка "c" такая, что касательная к графику в точке (c; f(c)) параллельна секущей M₁M₂. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.    Замечание. Формула Лагранжа по структуре похожа на формулу линеаризации

f (x) − f (x₀) ≈ f '(x₀)·(x −x₀).

Отличие только лишь в выборе точки для подсчета значения производной и в знаке равенства.

Теорема Коши

   Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g(x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c Î (a, b), такая, что справедлива формула

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g(b) = g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) найдется точка x Î (a, b), в которой g ' (x) = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b).    Рассмотрим функцию

.

Функция F(x) на [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F(a) = F(b) = 0. По теореме Ролля для F(x) существует точка c Î (a, b) , такая ,что F ' (c) = 0. Так как

,

то

.

Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.

8. Максимум и минимум функции . Необходимые условия экстремума. Точка x₀называется точкой максимумафункции у = f(х), если существует такая δ - окрестность точки x₀,что для всех х ≠ x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x₀).

Аналогично определяется точка минимума функции: x₀- точкаминимумафункции, если  . На рисунке 8 x₁ - точка минимума, а точка х₂- точка максимума функции у = f(х).

Рис. 8.

Значение функции в точке максимума (мини­мума) называется максимумом(минимумом)функции. Максимум (минимум) функции называ­ется экстремумом функции.

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точкахобласти определения. Рассмотрим условия существова­ния экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция у = f(х) имеет экстремум в точке x₀,тo ее производная в этой точке равна нулю: f '(x₀) = 0.

Геометрически равенство f '(x₀) = 0 озна­чает, что в точке экстремума дифференцируе­мой функции у = f(х)касательная к ее графи­ку параллельна оси Ох (см. рис. 9).

Рис. 9.

Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если f '(x₀) = 0, то это не значит, что x₀- точка экстремума.

9. Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в  -окрестности точки  , а в самой точке  непрерывна.

Тогда

• если  при  и  при  , то  - точка максимума;

• если  при  и  при  , то  - точка минимума.

Другими словами:

• если в точке  функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то  - точка максимума;

• если в точке  функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то  - точка минимума.

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

• Находим область определения функции.

• Находим производную функции на области определения.

• Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

• Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

• Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

10. Второе достаточное условие экстремума. Нахождение наибольших и наименьших значений функции на отрезке. Теорема 7.2. Пусть функция   имеет в данной стационарной точке с конечную вторую производную. Тогда функция   имеет в точке с локальный максимум, если   и локальный минимум, если 

Доказательство. Из условия   и из доказанной в гл. 6 теоремы 6.1 вытекает, что функция   убывает (возрастает) в точке с.

Поскольку по условию   то найдется такая окрестность точки с, в пределах которой   положительна (отрицательна) слева от с и отрицательна (положительна) справа от с. Но тогда по предыдущей теореме   имеет в точке с локальный максимум (минимум)

Замечание. Теорема 7.2 имеет, вообще говоря, более узкую сферу действия, чем теорема 7.1. Так, теорема 7.2 не решает вопроса об экстремуме для случая, когда вторая производная   не существует в точке с, а также для случая, когда  . В последнем случае для решения вопроса о наличии экстремума нужно изучить поведение в точке с производных высших порядков

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке:

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку ;

2) Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. 11. Точка перегиба. Условия перегиба.

Точка   называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки  , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости. Необходимое условие перегиба.

Сформулируем необходимое условие перегиба графика функции.

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке   и имеет при   непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство  .

Из этого условия следует, что абсциссы точек перегиба следует искать среди тех, в которых вторая производная функции обращается в ноль. НО, это условие не является достаточным, то есть не все значения  , в которых вторая производная равна нулю, являются абсциссами точек перегиба.

Еще следует обратить внимание, что по определению точки перегиба требуется существование касательной прямой, можно и вертикальной. Что это означает? А означает это следующее: абсциссами точек перегиба могут быть все   из области определения функции, для которых   и  . Обычно это точки, в которых знаменатель первой производной обращается в ноль.

Первое достаточное условие перегиба.

После того как найдены все  , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке  , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки  . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от  , вторая производная имеет разные знаки, то   является точкой перегиба графика функции.

Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке  , но требует ее существование в окрестности точки  .