59. Равномерная сходимость. Необх. И дост. Признак сход.

Говорят, что ряд   сходится равномерно к функции   на некотором промежутке, если для любого значения   (заранее выбранного и сколь угодно малого) и СРАЗУ ДЛЯ ВСЕХ «икс» из данного промежутка найдётся натуральный номер   (зависящий от «эпсилон»), ТАКОЙ, что для всех номеров   будет выполнено неравенство  .

Иными словами, равномерная сходимость подразумевает тот факт, что какой бы мизерный «коридор» мы ни рассмотрели – всегда найдётся частичная сумма  , график которой ПОЛНОСТЬЮ окажется внутри «коридора», т.е. будет отличаться от точной суммы по модулю меньше, чем на «эпсилон»:  – для ВСЕХ «икс» из промежутка сходимости.  И, разумеется, внутри  -окрестности также окажутся все приближения   более высоких порядков

Достаточные признаки их сходимости

Пусть u₁, u₂, u₃, … , u_n, …, где u_n = f(n), –– бесконечная числовая последовательность. Выражение u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n + … называется бесконечным числовым рядом, а числа u₁, u₂, u₃, … , u_n, … –– членами ряда; u_n = f(n) называется общим членом. Ряд часто записывают в виде   .

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через S_n и называют n-й частичной суммой ряда:

 .

Ряд называется сходящимся, если его n-я частичная сумма S_n при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е. если   . Число S называют суммой ряда. Если же n-я частичная сумма ряда при   не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.

Ряд   , составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму   .

Ряд   , называемый гармоническим, расходится.

Необходимый признак сходимости.Если ряд   сходится, то   , т.е. при   предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Таким образом, если   , то ряд расходится.

60. Признак равномерной и абсолютной сходимости (Вейерштрасса) Теорема 4.1. Если числовой ряд сходится и для всех и для всехп =1, 2,… выполняется неравенство то ряд сходится абсолютно и равномерно на множествеХ.

Доказательство.

Для любого ε> 0cуществует такой номерN, что поэтому и

для остатковr_n ряда справедлива оценка

Следовательно, поэтому ряд равномерно сходится.

Замечание. Процедура подбора числового ряда, отвечающего условиям теоремы 4.1, обычно называется мажорированием, а сам этот ряд –мажорантой для данного функционального ряда.

Пример. Для функционального ряда  мажорантой при любом значениихявляется сходящийся знакоположительный ряд . Поэтому исходный ряд равно-мерно сходится на (-∞, +∞).

61 Предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций.

62 Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

Теорема. Пусть  на  . Пусть  . Тогда  .

Доказательство. Требуется доказать, что  функция  непрерывна в точке  , т.е.  . Зафиксируем произвольное  . Ввиду равномерной сходимости  . В частности,  . По условию, при любом  функция  - непрерывная. Значит,  . При выбранных  имеем:  , что и требовалось доказать.

Следствие. Сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого являются непрерывными функциями, есть непрерывная функция.

Доказательство. Применим предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда.

Теорема. (почленное интегрирование ряда). Пусть ряд  равномерно сходится к своей сумме  на отрезке  и все  . Тогда  .

Доказательство. Обозначим при произвольном  ,  . Тогда  - непрерывная функция и, т.к. по предыдущей теореме  - непрерывная функция,  - также непрерывная функция. Тогда  . Для доказательства теоремы достаточно доказать, что  при  , т.к., по определению,  . Но  . Поэтому при  и требуемое утверждение доказано.

Замечание. Для функциональных последовательностей эта теорема формулируется следующим образом: Пусть  на  . Пусть  . Тогда  .