52. Принцип сравнения рядов. 53. Признаки Даламбера и Коши сходимости положительного ряда.

54. Интегральный признак сходимости 55 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

56 Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды.

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если ряд с неотрицательными членами   сходится.

Теорема 2 Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Обратное утверждение в общем случае не имеет места.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами:

– если ряд   абсолютно сходится и   =   ,   =   , то   ;

– если ряды   и   абсолютно сходятся, то при любых   и   ряд   абсолютно сходится;

– если ряд   абсолютно сходится, то ряд, составленный из тех же членов, но взятых в другом порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна сумме исходного ряда;

– если ряды   и   абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений   членов этих рядов, расположенных в любом порядке, также абсолютно сходится.

Если ряд   сходится, а ряд   расходится, то ряд   называется условно сходящимся.

57. Теорема Римана Теорема Римана.

Пусть S – произвольное число (конечное или бесконечное). Тогда можно так переставить местами члены условно сходящегося знакопеременного ряда, что его сумма будет равна S.

58 . Сходимость функциональных последовательностей и рядов

Пусть  последовательность функций, каждая из которых определена на некотором подмножестве . В этом случае говорят, что на множестве задана функциональная последовательность  . Например:

,

.

Аналогично, если задан ряд  , каждый член которого является функцией, определенной на множестве , то говорят, что на множестве заданфункциональный ряд. Например,  , .

Определение 1. Функциональная последовательность  называется схдящейся на множестве   к функции  , если последовательность сходится к , т.е. такое, что выполняется для .

Обозначается  . Эта сходимость называется монотонной, т.е. сходимостью в каждой точке множества.

Определение 2. Функциональный ряд  называется сходящимся намножестве   к функции  , если последовательность его частных сумм сходится к функции на множестве , которое называется областью сходимости ряда.

,  .

Функция  называется суммой функционального ряда.

Один из основных вопросов, рассматриваемых в теории функциональных рядов – нахождение области сходимости функционального ряда.

Определение 3. Последовательность  называется равномерно сходящейся на множестве   к функции  , если такое, что и выполняется . Обозначается .

Определение 4. Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся на множестве  к функции , если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на к .

Сравним между собой оба типа сходимости. Пусть ряд  сходит- ся для . Это означает, что каждому будет соответствовать свой числовой ряд, для сходимости которого , определенное в каждой точке. В общем случае значение будет меняться от точки к точке, т.е. . При равномерной сходимости требуется, чтобы для выбранного число не зависело от и было одним и тем же для .

Отсюда следует важный вывод: если последовательность (ряд) равномер но сходится на  , то последовательность (ряд) просто сходятся на . Обратное утверждение неверно.

Для того чтобы функциональная последовательность  равномерно сходилась на множестве к предельной функции необходимо и достаточно, чтобы

, (3)

где  , .

 Необходимость. Пусть  при . Так как по определению неравенство выполняется для и при , то при таких будет справедливо . Отсюда следует, что при .

Достаточность. Пусть  при . Это означает, что для при достаточно больших будет выполняться , тогда тем более для всех и будет выполняться . А это означает равномерную сходимость.

Теперь, пользуясь этой теоремой и определением равномерно сходящегося функционального ряда, можно сформулировать необходимое и достаточное условия равномерной сходимости ряда: для того, чтобы функциональный ряд  сходился к на необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность равномерно сходилась к нулю, т.е. .