Постоянная

функция

f

(

x

) =

C

интегрируема

на

[

a

,

b

],

так

как

для

любых

разбиений

и

любого

выбора

точек

ξ

i

интегральные

суммы

имеют

одно

и

то

же

значение

I

(

x

i

,

ξ

i

) =

f

(

ξ

i

)

Δ

ξ

i

=

C

Δ

x

i

=

C

(

b

−

a

).

Отсюда

C

dx

=

I

(

x

i

,

ξ

i

) =

C

(

b

−

a

).

2.

Доказать

,

что

функция

Дирихле

D

(

x

) =

0,

если

x

иррационально

,

1,

если

x

рационально

,

не

интегрируема

на

любом

сегменте

[

a

,

b

].

Решение

.

В

самом

деле

,

на

любом

сколь

угодно

малом

сегменте

[

x

i

−

1

,

x

i

]

найдутся

как

рациональная

,

так

и

иррациональная

точка

.

Если

на

всех

сегментах

выбрать

рациональные

ξ

i

,

то

I

(

x

i

,

ξ

i

) =

b

−

a

;

если

же

все

ξ

i

иррациональны

,

то

I

(

x

i

,

ξ

i

) = 0.

Чередуя

такие

выборы

при

Δ

→

0,

получаем

,

что

предел

I

не

существует

.

Значит

,

функция

Дирихле

не

интегрируема

.

3.

Проверить

,

что

для

функции

f

(

x

) = 1 +

x

на

сегменте

[

−

1, 4]

выполнено

условие

(1)

теоремы

2,

и

вычислить

I

=

(1 +

x

)

dx

как

предел

интегральных

сумм

.

Решение

.

Согласно

теореме

2

для

произвольного

ε

> 0

нужно

указать

такое

разбиение

сегмента

[

−

1, 4],

при

котором

S

−

s

<

ε

.

4.

Доказать

,

что

функция

Римана

φ

(

x

) =

0,

если

x

иррационально

,

1/

n

,

если

x

=

m

/

n

,

где

m

и

n

(

n

≤

1)

−

взаимно

простые

целые

числа

,

интегрируема

на

любом

сегменте

[

a

,

b

].

Решение

.

Снова

воспользуемся

теоремой

2.

Зададим

произвольное

ε

> 0.

Тогда

функция

φ

(

x

)

удовлетворяет

неравенствам

<

φ

(

x

) < 1

только

в

некотором

конечном

числе

N

точек

.

Это

вытекает

из

следующих

соображений

.

Все

рациональные

точки

сегмента

[

a

,

b

],

т

.

е

.

точки

вида

m

/

n

,

можно

занумеровать

в

таком

порядке

:

сначала

точки

вида

m

/1,

затем

m

/2,

затем

m

/3

и

т

.

д

.

Соответствующие

значения

функции

φ

(

x

)

в

этих

точках

равны

1/1, 1/2,

1/3, ...,

т

.

е

.

уменьшаются

с

переходом

к

каждой

следующей

группе

точек

,

причем

точек

каждого

вида

имеется

конечное

число

.

Таким

образом

,

в

число

указанных

N

точек

попадут

такие

,

для

которых

1/

n

>

,

откуда

n

< 2(

b

−

a

)/

ε

.

Ясно

,

что

таких

точек

конечное

число

(

пусть

оно

равно

N

).

Покроем

эти

N

точек

конечной

системой

попарно

непересекающихся

сегментов

с

общей

суммой

длин

,

меньшей

ε

/2.

Длины

этих

сегментов

обозначим

Δ

x

i

'.

Получилось

некоторое

разбиение

[

a

,

b

].

На

сегментах

с

длинами

Δ

x

i

'

колебания

ω

i

'

функции

φ

(

x

)

не

больше

1,

поскольку

∀

x

∈

[

a

,

b

] 0

≤

φ

(

x

)

≤

1.

Имеется

также

некоторое

конечное

число

остальных

сегментов

(

обозначим

их

длины

Δ

x

i

',).

Колебания

ω

i

''

функции

φ

(

x

)

на

этих

сегментах

не

превышают

.

Поэтому

для

полученного

разбиения

справедливы

оценки

S

−

s

=

∑

ω

i

Δ

x

i

=

∑

ω

i

'

Δ

x

i

' +

∑

ω

i

''

Δ

x

i

'' < 1 ·

∑

Δ

x

i

' +

+

∑

Δ

x

i

'' < 1 ·

ε

/2 +

(

b

−

a

) =

ε

.

Итак

,

по

заданному

ε

> 0

нашлось

разбиение

сегмента

[

a

,

b

],

для

которого

S

−

s

<

ε

;

следовательно

,

по

теореме

2

функция

Римана

φ

(

x

)

интегрируема

на

любом

сегменте

[

a

,

b

].

Постоянная

функция

f

(

x

) =

C

интегрируема

на

[

a

,

b

],

так

как

для

любых

разбиений

и

любого

выбора

точек

ξ

i

интегральные

суммы

имеют

одно

и

то

же

значение

I

(

x

i

,

ξ

i

) =

f

(

ξ

i

)

Δ

ξ

i

=

C

Δ

x

i

=

C

(

b

−

a

).

Отсюда

C

dx

=

I

(

x

i

,

ξ

i

) =

C

(

b

−

a

).

2.

Доказать

,

что

функция

Дирихле

D

(

x

) =

0,

если

x

иррационально

,

1,

если

x

рационально

,

не

интегрируема

на

любом

сегменте

[

a

,

b

].

Решение

.

В

самом

деле

,

на

любом

сколь

угодно

малом

сегменте

[

x

i

−

1

,

x

i

]

найдутся

как

рациональная

,

так

и

иррациональная

точка

.

Если

на

всех

сегментах

выбрать

рациональные

ξ

i

,

то

I

(

x

i

,

ξ

i

) =

b

−

a

;

если

же

все

ξ

i

иррациональны

,

то

I

(

x

i

,

ξ

i

) = 0.

Чередуя

такие

выборы

при

Δ

→

0,

получаем

,

что

предел

I

не

существует

.

Значит

,

функция

Дирихле

не

интегрируема

.

3.

Проверить

,

что

для

функции

f

(

x

) = 1 +

x

на

сегменте

[

−

1, 4]

выполнено

условие

(1)

теоремы

2,

и

вычислить

I

=

(1 +

x

)

dx

как

предел

интегральных

сумм

.

Решение

.

Согласно

теореме

2

для

произвольного

ε

> 0

нужно

указать

такое

разбиение

сегмента

[

−

1, 4],

при

котором

S

−

s

<

ε

.

limn→∞1n=0

∀ε>0,∃Nε,∀n>Nε,∀p>0:|1n+1+1n+2+⋯+1n+p|<ε

|1n+1+1n+2+⋯+1n+p|=|1n+1+1n+2+⋯+12n|>

>|12n+12n+⋯+12n|=12=ε

Примерный перечень вопросов к экзамену 1. Дифференциал и его связь с производной. Геометрический и механический смысл дифференциала. 2. Дифференциал суммы, произведения, частного функций и сложной функции. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. 3. Дифференциалы высших порядков. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях. 4. Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Касательная к кривой Жордана. 5. Теорема Ферма, Ролля и их геометрический смысл. Признаки постоянства функции на промежутке и монотонности функции в точке. 6. Возрастание и убывание функции на промежутке. 7. Теоремы Коши и Лагранжа. 8. Максимум и минимум функции. Необходимое условие экстремума. 9. Первое достаточное условие экстремума. 10. Второе достаточное условие экстремума. Нахождение наибольших и наименьших значений функции на отрезке. 11. Точки перегиба. Условия перегиба. 12. Выпуклые функции. Условия выпуклости. 13. Правила Лопиталя. 14. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. 15. Формула Тейлора. Разложение по формуле Тейлора элементарных функций. Символы "О" и "о". 16. Задача восстановления функции по ее производной. Первообразная функции и неопределенный интеграл. 17. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. 18. Интегрирование по частям. 19. Интегрирование методом замены переменных. 20. Интегрирование рациональных функций. 21. Интегрирование простейших иррациональных функций. 22. Подстановки Эйлера. 23. Подстановки Чебышева. 24. Интегрирование трансцендентных функций (выражений вида R(sinx, cosx)). 25. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 26. Интегрируемость функции и определенный интеграл. Нижние и верхние суммы ограниченной функции. Свойства сумм Дарбу. 27. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. 28. Интегрируемость непрерывной функции. 29. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва. 30. Основные свойства определенного интеграла. 31. Теорема о среднем и оценки интеграла от непрерывной функции. 32. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной функции. 33. Формула Ньютона - Лейбница. 34. Интегрирование по частям в определенном интеграле. 35. Замена переменной в определенном интеграле. 36. Вычисление площадей фигур в декартовых и полярных координатах. 37. Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла. Принцип Кавальери. Вычисление объема тела вращения. 38. Вычисление длины дуги гладкой кривой. 39. Вычисление площади поверхности тел вращения.2 40. Общая схема применения определенного интеграла Римана к вычислению геометрических, механических и физических величин. Приложения определенного интеграла в физике. 41. Несобственный интеграл Римана от функций, определенных на полупрямой и на всей числовой прямой. 42. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная сходимость и условная сходимости. Признаки сходимости. 43. Несобственный интеграл от неограниченной функции. Главное значение несобственного интеграла. 44. Приближенное вычисление интегралов Римана: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. 45. Числовой ряд и его сходимость. Сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии. 46. Действия над рядами. Теорема о действии над рядами. 47. Остаток ряда. Сходимость ряда и его остатка. 48. Необходимый признак сходимости ряда. Сходимость гармонического ряда. 49. Теорема о связи сходимости и фундаментальности последовательности. 50. Критерий Коши сходимость числовой последовательности и числового ряда. 51. Критерий сходимости положительного ряда. Признак сравнения. 52. Принцип сравнения. 53. Признаки Даламбера и Коши сходимости положительного ряда. 54. Интегральный признак сходимости положительного ряда. 55. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 56. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. 57. Теорема Римана (без доказательства). 58. Сходимость функциональных последовательностей и рядов. Основные понятия. 59. Равномерная сходимость. Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости. 60. Признак равномерной и абсолютной сходимости (признак Вейерштрасса). 61. Предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 62. Сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций 1. Дифференциал и его связь с производной. Геом. И механ. Смысл дифф. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х₀ Î [a; b] определяется равенством

 .

Следовательно, по свойству предела

Умножая все члены полученного равенства на Δx, получим:

Δy = f '(x₀)·Δx + a·Δx.

Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х₀) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х₀)·Δx называют дифференциалом функции в точке х₀ и обозначают через dy.

Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то произведение производной f '(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:

dy = f '(x)·Δx

(1)

Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=Δx. Таким образом, дифференциал dx независимой переменной xсовпадает с ее приращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:

dy = f '(x)dx

Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM₁|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

Пусть   расстояние прямолинейно движущейся точки от начального положения   время пребывания в пути). Приращение   это путь, пройденный точкой за промежуток времени   а дифференциал   (§ 228, теорема 1) — это путь, который точка прошла бы за то же время   если бы она сохранила скорость   достигнутую к моменту   При бесконечно малом   воображаемый путь   отличается от истинного   на бесконечно малую высшего порядка относительно   Если скорость в момент   не равна нулю, то   дает приближенную величину малого смещения точки 2. Дифф суммы, произведения, частного, сложной ф-ции. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Пусть   - дифференцируемые функции   Тогда имеют место следующие формулы:

(при условии  ).

Предоставляем читателю вывести формулы (65) и (65") и ограничимся лишь выводом формулы (65).

По определению дифференциала

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x:  , . Дифференциал   этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде  . Но   есть дифференциал функции u, поэтому  , т. е.

.

Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е.  , хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x.

Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливонезависимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

Пусть функция  дифференцируема в точке . Тогда

(4.2)

Рассмотрим два случая:

1. если  – независимая переменная, то , поэтому

;

2. если  дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и

. (4.3)

Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной.

Свойство первого дифференциала иметь одинаковые выражения через дифференциалы независимой переменной (в случае 1)) и зависимой переменной (в случае 2)) называют инвариантностью формы первого дифференциала.

3. Дифф высших порядков. Применение дифф в приближенных значениях. Дифференциалы высших порядков (как и старшие производные) определяются индуктивно.

Пусть функция  дифференцируема в каждой точке . Если в точке дифференциал

является дифференцируемой функцией, то существует дифференциал от дифференциала  данной функции, который называетсявторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функции  и обозначается или . Пусть определен дифференциал порядка : . По определению полагают . Тогда мдифференциалом, если он существует, называют функцию  :

.

Найдем формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим два случая.

1. Если   − независимая переменная, то  есть некоторое фиксированное приращение независимой переменной , т. е. является постоянной величиной и . Поэтому

.

Здесь  . Аналогично

, (4.8)

здесь  . Из (4.8) вытекает

,

т. е. производная  го порядка, как и производная первого порядка, может быть представлена как обыкновенная дробь – отношение дифференциалов го порядка функции и й степени дифференциала аргумента.

2. Рассмотрим случай зависимой переменной. Пусть  , где – дифференцируемая функция. В силу инвариантности формы первого дифференциала . Здесь дифференциал в общем случае не является постоянной величиной ( ). Поэтому

.

Сравнивая эту формулу с формулой  , где  − независимая переменная, делаем вывод, что уже второй дифференциал инвариантностью формы не обладает.

Если  , то , то есть

,  . (4.4)

Этим равенством часто пользуются для приближенного вычисления значений дифференцируемой функции из некоторой   - окрестности точки  при достаточно малом . Формулу (4.4) записывают в виде

,  . (4.5)

Так как  , то и формула (4.5) принимает вид

, . (4.6)

Графиком функции правой части (4.6) является прямая  , проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент . Эта прямая – касательная к графику функции в точке – доставляет линейное приближение функцииfв окрестности точки  . Следовательно, геометрически (4.6) означает, что в окрестности точки  график функции сливается с отрезком касательной, т. е. «спрямляется». Говорят, что соотношением (4.4) функция линеаризована в окрестности точки  .

Если аргумент х вычислен с относительной погрешностью  , то значение функции – с относительной погрешностью , определяется по формуле или

, (4.7)

где  – эластичность функции   в точке х (подробнее см. п. ).

4. Параметрически заданные функции и из дифференцирование. Касательная к кривой Жордана. До сих пор функция записывалась в явном виде y= f(x) и в неявном F(x,y)=0. Но существует еще третий вид аналитического представления функции - это представление её в па раметрической форме в виде двух уравнений

где t - вспомогательная переменная, называемая параметром.   Заметим, что функция может быть представлена в параметрической форме различными способами.   Например, функция, записанная в неявном виде x² + y² = 1 может быть представлена в явном виде:  и в параметрической форм е:

  Заметим, что x² + y² = 1 есть уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат.   В первом параметрическом представлении уравнения x² + y² = 1 параметр t изменяется от -1 до +1 и равен абциссе подвижной точки окружности, во втором случае параметр t изменяется от 0 до 2p и равен углу, образованному радиусом подвижной точки и осью Ox.   Если функция задана в явном виде y=f(x), то всегда можно записать её в неявном виде y-f(x)=0, а также в параметрической форме От вида F(x,y)=0 не всегда возможно перейти к виду y=f(x) или x=j (y), так как уравнение F(x,y)=0 может оказаться неразрешимым относительно y или x .   

   От параметрического представления функции к уравнению вида F(x,y)=0 можно прийти путем исключения параметра t, если это возможно.    Уравнения y=f(x) и F(x, y)=0 служат различными аналитическими представлениями одной и той же функции F[x, f(x)]=0. Параметрические уравнения

   Найдем производную функции y по x в случае, когда она задана в параметрическом виде. Для этого будем рассматривать t как функцию от x. То естьt=t(x). Тогда y=y[t(x)]. Продифференцируем y как сложную функцию от x, т.е. по формуле

и применим формулу, связывающую производные обратных функций:

   Введя обозначения , получим

   Теперь найдем вторую производную от функции, заданной в параметрической форме.    Из предыдущего уравнения и определения второй производной следует, что

Но Следовательно   Где 

5. Теорема Ферма, Ролля и их геометрический смысл. Признаки постоянства функции на промежутке и монотонности функции в точке. Теорема Ферма. Если ф-я y=f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой внутренней точке x₀(из (a,b)) принимает наибольшее или наименьшее значение, то производная ф-и в этой точке (если она вообще сущ-ет) равна 0.

 Замечание. Теорема неверна, если ф-я рассматривается на отрезке, где она достигает наибольшее (наименьшее) значение на одном из концов.

Теорема Ролля. Пусть ф-я y=f(x):

1)определена и непрерывна на отрезке [a,b]

2)существует ее производная на интервале (a,b)

3)на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка с (принадл (a,b)), в которой производная ф-и равна 0 (f’(c)=0)

Если условия теоремы выполняются, то в точке кривой с ф-и f(c) касательная параллельна оси Ox.

Геометрическитеорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f(a) = f(b) равные значения, существует точка (c; f(c)), в которой касательная параллельна оси Оx. Замечание: каждое из условий теоремы явл необходимым.

Признак постоянства функции.

Если на некотором промежутке производная тождественно равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна.

Доказательство. Будем понимать заданную функцию  у = f(x)  как закон движения материальной точки  Р  по оси  у.  Если производная обратилась в нуль, то точка  Р  остановилась. Если производная все время равна нулю, то точка  Р  все время стоит на месте, а тогда функция  у  является постоянной, что и требовалось доказать. Заметим, что верна и обратная теорема: если функция постоянна, то ее производная равна нулю. Производную постоянной функции мы вычислили ранее. Таким образом,  f = const

Функция у = f(x) называется возрастающей в промежутке (а, b), если для любых двух значений x1 и х2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) < f(x2)(а).

Функция у = f(x) называется убывающей в некотором промежутке, если для любых двух значений, принадлежащих этому промежутку, из неравенства х1 < х2 следует неравенство f(x1) > f(x2) (б).  Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была во всех точках интервала неотрицательна (неположительна). Если производная функция во всех точках интервала положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает).  Докажем, например, что если на интервале (a,b) производная функции f неотрицательна (f'(x) > 0 для всех x   (a,b)), то функция f возрастает на (a,b). Действительно, если x₁   (a,b), x₂   (a,b) и x₁ < x₂, то по теореме Лагранжа

f(x2) - f(x1) = f'( )(x2 - x1),     x1 <   < x2,

(15.1)

а так как по условию f'( ) > 0, то из равенства (15.1) следует, что f(x₂) - f(x₁) > 0, т. e.

f(x1) < f(x2).

(15.2)

При этом если для всех x   (a,b) выполняется неравенство f'(x) > 0 и, следовательно, в равенстве (15.1) f'( ) > 0, то f(x₂) - f(x₁) > 0, т. е.

f(x1) < f(x2)

(15.3)

- функция f строго возрастает.      Пусть теперь функция f возрастает на интервале (a,b) и имеет в точке x₀   (a,b) производную. Возьмем  x > 0, тогда

f(x₀ +  x) > f(x₀)

и, следовательно,

(f(x0 +  x) - f(x0))/ x > 0

(15.4)

Переходя в этом неравенстве к пределу при  x 0, получим

f'(x0) > 0.

(15.5

6. Возрастание и убывание функции на промежутке Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых   и   выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых   и   выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале   мы можем утверждать о возрастании на отрезке  .