2. Физические явления при преобразовании частоты

ТРАНЗИСТОРЫ ПЧ. КОММЕНТАРИЙ К ТЕОРИИ ПЧ

В силу нелинейности ВАХ транзистора (см.рис.1) преобразователь является нелинейным устройством, расчет электрических параметров которого может быть выполнен на основании результатов какой-либо теории, которая может быть либо линейно-параметрической, либо чисто нелинейной. В соответствии с общей теорией ПЧ, излагаемой, например, в , преобразователь рассматривается поначалу как шестиполюсник, входной и выходной токи которого являются функциями сразу трех напряжений – сигнала , гетеродина и выходного . Такой подход требует в общем случае разложения соответствующих фукций в трехмерные ряды Тейлора, что должно существенно усложнить теорию ПЧ. Обычный и математически нестрогий путь упрощения теории состоит в том, что при условиях и соответствующие функции для входного и выходного тока разлагаются в двумерные ряды по степеням и . Получаемые в дальнейшем результаты могут быть интерпретированы с определенной степенью точности для транзисторного ПЧ.

Ниже обсуждаются физические особенности ПЧ на транзисторе, которые дают основания для уточнения получаемых в результате теории эквивалентных параметров ПЧ при одновременном некотором ее упрощении и большей математической строгости.

По своей сути транзистор в ПЧ является четырехполюсником, на вход которого поступает сумма напряжений сигнала и гетеродина ( ), а на входе присутствует, в силу избирательности нагрузки, лишь одно напряжение . В силу сказанного

(1)

и разложение (1) возможно в двумерный ряд без каких-либо условий.

Вместе с тем, несмотря на очевидность (1), вытекающую из выходных характеристик транзистора, в ней - напряжение, выделяемое на нагрузке за счет протекания самого тока (так называемая реакция нагрузки), поэтому при использовании (1) необходимо помнить о законе причинно-следственной связи (входное напряжение – первично, выходное напряжение - вторично) и при конкретизации (1) вид функции для надо задавать на основании вида функций , , а не произвольно.

Сказанное имеет отношение к характеру выходной проводимости транзистора , о которой будет идти речь ниже.

Обычным способом разложим (1) в ряд

(2)

Ограничиваясь линейными членами, мы остаемся в рамках линейной теории. Чтобы иметь линейно-параметрическую теорию необходимо в (2) ввести параметризацию (зависимость от времени), что будет сделано несколько позже.

Отбросим в (2) первый член, учтем возможную замену и реальное условие >> , после обозначений:

(3а)

удержав полезные члены, запишем

(3б)

Из (3а) следует, что проводимость прямой передачи не зависит от выходного напряжения и может быть параметризована по входному напряжению . При условии >> совершенно очевидно, что будет параметром, меняющимся по закону напряжения и в дальнейшем может быть разложена в ряд Фурье по гармоникам частоты гетеродина .

Что же касается выходной проводимости , то, как это видно из (3а), ее величина не зависит от входного напряжения ( означает короткое замыкание на входе по высокой частоте) по определению и соответственно не может быть параметризирована в соответствии с . Вместе с тем, согласно выходным характеристикам, проводимость может меняться по закону изменения выходного напряжения, т.е. в преобразователе не с частотой , а с частотой .

Оценивается, соответственно, и на промежуточной частоте. Поскольку в ПЧ напряжение обычно мало по сравнению с , параметризовать как функцию нет необходимости.

Таким образом, в рамках выбранной физической модели транзистора (выходные характеристики снимаются при различных входных токах, но при неизменном напряжении ) зависимость от несущественна.

В свете сказанного дальнейшие преобразования (3) выполняются как в , но при Если и - косинусоидальные функции времени, а проводимость прямой передачи - чисто активна ( ~ ), функция - также косинусоида .

Вместе с тем возможен важный для практики случай, когда ~ (емкостный параметрический преобразователь – усилитель). Тогда при соответствующих преобразованиях для соблюдения вышеупомянутого закона о причинно-следственной связи в качестве функции следует подставлять синусоиду . Таким образом, в рамках низкочастотных -параметров уравнение для выходного тока ПЧ после преобразований в комплексных амплитудах имеет вид

(4)

где , ,

- амплитуда k-й гармоники проводимости прямой передачи (крутизны).

Обычным способом (4) обобщается на случай высоких рабочих частот, когда ПЧ моделируется эквивалентным квазилинейным четырехполюсником описываемым уравнениями в -параметрах, при этом емкостная составляющая , в отличие от активной, рассчитывается лишь аналитически. Соответственно в формуле ~ нет зависимости от , т.е. от .

Теперь рассмотрим вопрос о характере зависимости входного тока транзистора от и . В теории электротехники указывается, что четырехполюсник является невзаимным, если

При работе электронных приборов на переменном высокочастотном токе понятие невзаимности имеет практический смысл при условии Убедимся, что, в отличие от резонансного усилителя, для преобразователя это условие невзаимности почти всегда выполняется.

Действительно , ~ , где - промежуточная (сравнительно низкая) частота. Тогда проводимость обратной передачи имеет, как нетрудно убедиться, в рабочих режимах ПЧ величину порядка 10^-4, в то время, как практически не зависит от частоты и имеет порядок 10^-1. Заметим также, что не только мала, но и постоянна в смысле зависимости от напряжения . По определению

проводимость в смысле зависимости от постоянна. Входные характеристики транзистора также указывают на слабую зависимость от , т.е. от . Из сказанного видно, что зависимость от в транзисторе, т.е. не только постоянна, но и чрезвычайно мала, и тогда для ПЧ справедлива функциональная зависимость вида

(5)

отражающая факт невзаимности электронного прибора (транзистора), на котором он выполнен.

При замене приращения самим напряжением одномерное разложение (5) имеет вид

(6)

Учитывая, что , а также то, что в (6) можно опустить как не существенные, слагаемые и в конечном счете имеем лишь один полезный член разложения

(7)

Здесь производная по может быть вычислена независимо от того, является ли входное напряжение чисто синусоидальным или более сложной функцией (как это имеет место при наличии одновременно двух колебаний - и ), поскольку речь идет о бесконечно малых приращениях в области текущей рабочей точки.

Вместе с тем эта производная (входная проводимость) может быть параметризована, если одно из напряжений в (или оба сразу) достаточно велико и изменение за период соответствующего напряжения заметно. Поскольку на практике параметризуется во времени по закону изменения .

Дальнейшие операции для транзисторного ПЧ стандартны. После разложения в ряд Фурье и соответствующих преобразований и перехода к комплексным амплитудам, на основании (7) можно записать уравнение для входного тока квазилинейного четырехполюсника, моделирующего ПЧ на невзаимном приборе:

(8)

где - постоянная составляющая входной проводимости в разложении Фурье.

В терминах высокочастотных -параметров (8) запишется путем обычной замены на , где - постоянная составляющая в разложении Фурье входной емкости.

Поскольку отличается от , т.е. при подаче входная емкость ПЧ меняется, то меняется первоначальная настройка контура, предшествующего ПЧ.

На основании изложенного в рамках линейно-параметрической теории ПЧ возможна следующая физическая трактовка принципа его работы.

Как следует из (3) и на основании ВАХ транзистора , где - крутизна проходной характеристики в РТ. Под действием достаточно большого напряжения (гетеродина) РТ может перемещаться по ВАХ с соответствующим изменением крутизны в простейшем случае по гармоническому закону

Перемножение с сигналом (пусть ) в результате дает наличие слагаемых с новыми частотами , т.е. указывает на факт преобразования частоты.

На основании (4) и (8) ПЧ на транзисторе моделируется квазилинейным невзаимным четырехполюсником, показанным на рис.3.

Изложенная нелинейная теория преобразователя в отличие от линейно-параметрической, изложенной в разд. 1.1, полностью подчиняется закону о причинно-следственной связи, который применительно к электрическим цепям (схемам) может быть позиционирован следующей логической цепью:

→U→I→U→I→U→…→I→U(I)→

↑___________________________↓,

обратная связь по U (I)

где предыдущее значение напряжения U (тока I) является причиной возникновения последующего тока I (напряжения U) вследствие соответствующего преобразования в цепи. Этот закон исключает две следующие логические операции:

1. Например, U-U – т.е. напряжение “порождает” напряжение, при этом пропускается промежуточная операция определения тока I;

2. “следствие”, например, U не может обратно влиять на ток I, его порождающий; обратное влияние U на I может быть осуществлено только через механизм обратной связи, как это показано на приведенной диаграмме.

В приведенной в разд.1.1 теории, данной в традиционном изложении (за исключением поправок на особенности транзисторного преобразователя), эти обе недопустимые логические операции нарушены.

Оба нарушения состоят в следующем. Как следует из формул (3б) и (4) выходной ток преобразователя зависит от его выходного напряжения U_пр, в то же время являясь причиной возникновения U_пр (нарушение по п.2).

Причина здесь состоит в том, что исходное выражение (2) для произвольного четырехполюсника подразумевает зависимость выходного тока от наличия реальных источников напряжения (генераторов) как на входе, так и на его выходе. Однако, в (3б) напряжение на его выходе U_вых в действительности виртуальное, т.е. порожденное самим выходным током I_вых, как это уже отмечалось. Записав член для U_вых без промежуточной операции его нахождения через I_вых, мы нарушили п.1.

Это нарушение могло повлечь за собой еще одну ошибку, которую в данной теории преобразователя на приборе с ВАХ удалось избежать.

Речь идет о записи напряжений U_с и U_вых в виде одинаковых (косинусоидальных) функций, что в данном случае справедливо, поскольку при прохождении сигнала через прибор с ВАХ фаза протекающего через него тока не меняется (преобразователь на активном элементе) и определять истинную фазу тока I_вых оказалось необязательно.

Другое дело, когда анализируется преобразователь на реактивном приборе, например, с вольт-фарадной характеристикой (параметрический ПЧ-усилитель (ПУ)). В этом случае выходной ток получает дополнительный сдвиг на 90 градусов и U_вых (т.е. U_пр) имеет вид не косинусоиды , а синусоиды и запись этого напряжения с нарушением закона о причинно-следственной связи связано с ошибочностью самой теории ПУ, т.к. в этом случае исчезает эффект появления отрицательного сопротивления на входе ПУ.

Теория ПУ с соблюдением закона о ПСС изложена в [6].