2.2. Скорость точки

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является скорость.

Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.

Скорость при векторном способе задания движения точки

Пусть в момент времени t движущаяся точка занимала положение М (рис. 2.4), определяемое радиус-вектором r , а в момент времени t1 – положение М1 с

радиусом-вектором r . Тогда из векторного треугольника ОММ1 получим:

1

r₁ = r + D r , т.е. вектор перемещения точки М за промежуток времени D t = t₁ - t равен D r = r₁ - r .

Рис. 2.4

Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно. Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени, в течение которого произошло это перемещение, представляет собой вектор средней скорости движения точки:

			D	r
		=			=		MM1		м/с.
V
	CP		Dt				Dt

Направлен вектор средней скорости так же, как и D r .

Чем меньше будет промежуток времени, тем средняя скорость будет точнее характеризовать движение точки. Чтобы получить характеристику движения, не зависящую от промежутка времени, введем понятие скорости точки в данный момент времени.

Скоростью точки в данный момент времени называется векторная величина, к которой стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени к нулю:

			D	r	=	d	r	м/с.
V		= lim
		Dt®0	Dt d t

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора точки по времени. При D t ® 0 точка М₁ приближается к точке М, а хорда ММ₁ в пределе становится касательной. Это означает, что вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории в сторону её движения.

Скорость при координатном способе задания движения точки

Пусть движение точки задано уравнениями:

x = f1 (t ), y = f2 (t ), z = f3 (t ).

Векторное уравнение задания движения точки:

r

= x ×i

+ y × j + z ×k . Вектор

скорости точки как производная радиус-вектора точки по времени имеет вид:

=

d

r

=

dx

+

dy

×

+

dz

V

×i

j

× k

,

dt

d t dt

dt

здесь

dx

=V

X

;

dy

=V ;

dz

=V

– проекции скорости точки на оси

dt

dt

Y

dt

Z

координат.

= ̇; = ̇; = ̇

• проекции вектора скорости на координатные оси равны производным по времени от соответствующих координат.

Зная три проекции вектора скорости, находим ее модуль:

22. = V _X² + V_Y² + V_Z² .

и углы, которые вектор скорости составляет с осями, через их косинусы:

cosa =

VX

;

cos b =

VY

;

cosg =

VZ

.

V

V

V

Задача. Даны уравнения движения точки: x = 2 t 2 - 1, см; y = 4 t 2 + 4 , см.

Найти уравнениетраектории

и скорость

точки. Построить положение

движущейся точки для момента t = 2 с и изобразить вид траектории.

Решение

Для построения траектории точки исключим из уравнения движения

время (t):

ì_ïx = 2t ² -1

í

ïy = 4 t ² + 4

î

_t 2 ₌ ^{x + 1} _;

2

y = 4 × ^{x + 1} + 4 ® y = 2 x + 6 – траектория движения прямая линия (рис. 2.5).

2

Подставив время (t) в уравнение движения и уравнение скорости точки, получим:

при t = 2 с при t = 0

х = 7 см, y = 20 см.

х = -1 см, y = 4 см.

Рис. 2.5

V

X

= dx

= 4 t;

V = dy

= 8 t; V = V 2

+V 2

= 16 t 2 + 64 t 2 @ 9 t см/с

dt

Y

dt

X

Y

при t = 2 с

V= 18 см/с.

Скорость при естественном способе задания движения точки

При естественном способе задания движения точки известна ее

траектория и уравнение движения S=f (t). За промежуток времени переходит из положения М в М1, совершая при этом перемещение 2.6).

t =t1- t точка S=S1-S (рис.

Рис. 2.6
Численная величина средней скорости точки будет				=	S1	- S	=	D S	.
	V
		CP			t1	-t		Dt

Переходя к пределу, находим численное значение скорости точки в данный момент времени:

			DS	=	dS	.
V		= lim
		Dt®0	Dt dt

Численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от криволинейной координаты по времени.

Направлен вектор скорости по касательной к траектории в сторону движения точки. Если V >0, то вектор скорости направлен в положительном направлении отсчета расстояния S, а если V <0, то в отрицательном.

Задача. Точка движется по некоторой кривой по закону S = t²– 4t + 1, см.

Определить скорость точки в конце первой и пятой секунд.

15

Решение

^{d S}

Скорость точки в любой момент времени: V = = 2 t - 4 .

Подставим в закон изменения скорости значения t₁ и t₂:

V_{(t1 =1)} = 2 ×1 - 4 = -2 см / с; V_{(t 2 =5)} = 2 ×5 - 4 = 6 см / с.